Redigerer Feynmans veiintegral (avsnitt)

===Partikler i tre dimensjoner===

Posisjonen til en partikkel som beveger seg i tre dimensjoner, kan angis ved tre [[Kartesisk koordinatsystem|kartesiske koordinater]] {{nowrap|'''x''' {{=}} (''x, y, z'')}}. Hver vei i dette rommet utgjør da en [[kurve]] {{nowrap|'''x''' {{=}} '''x'''(''t'')}}. For en ikke-relativistisk bevegelse med [[potensiell energi]] {{nowrap|''V'' {{=}} ''V''('''x''',''t'')}} fra  punktet {{nowrap|''a'' {{=}} ('''x'''<sub>''a''</sub/>, ''t''<sub>''a''</sub/>)}} til {{nowrap|''b'' {{=}} ('''x'''<sub>''b''</sub/>, ''t''<sub>''b''</sub/>)}}, kan veiintegralet for propagatoren skrives som

: <math> K(\mathbf{x}_b,t_b;\mathbf{x}_a,t_a) = \int_{\mathbf{x}_a}^{\mathbf{x}_b} \! D\mathbf{x}\, \exp\Big({i\over\hbar} \int_{t_a}^{t_b} \! dt \,\Big[ {1\over 2}m\dot{\mathbf{x}}^2 - V(\mathbf{x},t)\Big] \Big) </math>

Det har samme form som et produkt av tre éndimensjonale integral. Integrasjonsmålet i det diskrete tilfellet der tidsintervallet kan splittes opp som {{nowrap|''t<sub>b</sub>'' -  ''t<sub>a</sub>&thinsp;'' {{=}} ''N&epsilon;,''}} blir da

: <math>   D\mathbf{x} = A^{3N} d^3x_1  d^3x_2 \cdots d^3x_{N-1} </math>

hvor faktoren ''A&thinsp;'' er den samme som tidligere. Mens beregninger i vanlig kvantemekanikk vanligvis gjennomføres for potensial ''V&thinsp;'' som er uavhengige av tiden, er dette ikke noen begrensing i denne formuleringen.

Denne propagatoren er også en [[Greens funksjon|Green-funksjon]] for den tilsvarende Schrödinger-ligningen og oppfyller derfor den [[Partiell differensialligning|partielle differensialligningen]]

: <math> \left(i\hbar {\partial\over\partial t_b} - \hat{H}_b\right)K(\mathbf{x}_b,t_b;\mathbf{x}_a,t_a) =  i\hbar\, \delta(t_b - t_a)\delta(\mathbf{x}_b - \mathbf{x}_a) </math>

For en fri partikkel med Hamilton-operator <math> \hat{H}_0 = \hat\mathbf{p}^2/2m </math> blir nå propagatoren

: <math>  K_0(b;a)  = \left({m\over 2\pi i\hbar(t_b - t_a)}\right)^{3/2} e^{im(\mathbf{x}_b - \mathbf{x}_a)^2/2\hbar(t_b - t_a)} </math>.

for alle tidspunkt  {{nowrap|''t<sub>b</sub>''  > ''t<sub>&thinsp;a</sub>''.}}. Det følger fra veiintegralet, men kan også utledes i dette tilfelle direkte fra [[Propagator#Noen egenskaper|egenfunksjonene]] til Hamilton-operatoren.<ref name = Abers/>