Redigerer Euklids Elementer (avsnitt)

==Innhold i bøkene ==

===Bok I - IV: Plangeometri===

[[Fil:Euclidis elementorum libri priores sex Fleuron T145401-9.png |thumb|Illustrasjon til Euklids bevis for den pytagoreiske læresetning. fra en utgave i fra 1756.]]

De første fire bindene inneholder plageometri.  Storparten av materialet i bind I og II var kjent fra [[pytagoreerne]].<ref name=TH153>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.153</ref> 
Teorien i bind III og VI var kjent fra [[Hippokrates fra Khíos|Hippokrates]]' tid.  Siden formlike trekanter blir introdusert først i bind VI, så er alle bevisene gjennomført uten bruk av teori for formlikhet.

Et produkt av to størrelser ble i gresk geometri alltid behandlet som et areal.  [[Geometrisk algebra]] var etter pytagoreerne en form for geometri og [[aritmetikk]] for areal.  Behandling av areal var helt grunnleggende i 
gresk matematikk og opptrer for eksempel i beviset for Pytagoras’ læresetning.  Til en gitt lengde <math>a</math> kunne en definere produktet <math>a^2</math>, som arealet av et kvadrat konstruert
med <math>a</math> som sidelengde.  Grekerne sammenlignet aldri et areal med en lengde, og en ligning som <math>x^2 = a</math> ville derfor ikke gitt greske matematikere mening.

* Bind I: Postulatene og aksiomene som presenteres i bind I, er felles for alle de 13 bøkene. Bindet inneholder grunnleggende plangeometri, med setninger for linjer, vinkler, trekanter og firkanter.  Setning I.32 viser for eksempel at vinkelsummen i en trekant er lik to rette vinkler. Bindet avsluttes med den pytagoreiske læresetningen I.47 og det omvendte teoremet I.48.
* Bind II: Geometrisk algebra. Her vises en rekke setninger som vi i dag vil uttrykke med [[algebra]], for eksempel [[kvadratsetningene]].  Setning II.11 gir en geometrisk løsning til ligningen <math>x^2 + ax = a^2</math>.  Setningene II.12 og II.13 er geometriske former for [[cosinussetningen]], for henholdsvis en spissvinklet og stumpvinklet trekant.
* Bind III: Grunnleggende geometri for sirkler.  Setning III.31 svarer til [[Tales’ teorem]] om en rett vinkel i en halvsirkel. De to siste setningene behandler [[potens til et punkt|et punkts potens]] med hensyn på en sirkel.
* Bind IV: Setninger om [[Innskrevet (geometri)|innskrevne]] og [[omskrevet (geometri)|omskrevne sirkler]] til trekanter og til [[regulær mangekant|regulære polygoner]] med 4, 5, 6 og 15 sider.

===Bok V - VI: Proporsjoner ===

Tall som vi i dag omtaler som [[rasjonalt tall|rasjonale tall]] eller brøker ble av grekerne behandlet geometrisk, som et forhold mellom to linjestykker eller to areal.  En [[proporsjon]] er likhet mellom to eller flere
tallforhold og kan for eksempel uttrykkes i dagens formspråk som

:<math>a : b = A : B \ . </math>

Størrelsene <math>a</math> og <math>b</math> må være av samme type (heltall, linjestykke, areal, volum), men trenger ikke være av samme type som <math>A</math> og <math>B</math>.

* Bind V: Teori for proporsjoner, ofte tilskrevet Eudoksos.  Thomas Heath skriver at «gresk geometri kan ikke skryte av noen finere enn denne teorien».<ref name=TH358/>  Teorien er gjeldende for alle typer størrelser, både rette linjer, areal, volum eller heltall, så lenge størrelsene som inngår er av samme type.
* Bind VI: Bindet bruker teorien i fra bind V til plangeometri.  Her defineres likedannede eller formlike figurer.  Geometrisk algebra brukes til å finne løsning på generelle former for kvadratiske ligninger.  Løsningene er alltid begrenset til å være positive størrelser.

===Bok VII - IX: Tallteori===

Tre bøker omhandler elementær tallteori.  Platon omtaler slik tallteori for «aritmetikk», en bruk av ordet som ikke samsvarer med moderne definisjon av aritmetikk.<ref name=TH13>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.13</ref>  Grekerne skilte mellom tallteori (aritmetikk) og beregning med tall, omtalt som «logistikk».  I logistikk studerte en addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon av heltall.   De tre bøkene omtales som «de aritmetiske bøkene i ''Elementer''».

For Euklid var et tall alltid et positivt heltall.  I definisjonene i bind VII er 1 ikke regnet som et tall, men som en grunnleggende enhet.

* Bind VII:  Grunnleggende tallteori.  Innledningsvis defineres blant annet partall og oddetall, [[primtall]] og [[sammensatt tall|sammensatte tall]]. Et ''plant tall'' er et tall som kan skrives som et produkt av to tall, mens et ''romlig tall'' er et produkt av tre tall. Setning VII.2 beskriver det som i dag kalles [[Euklids algoritme]] for å beregne [[største felles divisor]] for to heltall.  Algoritmen var kjent lenge før Euklid.<ref>{{Kilde bok | redaktør = Hans Niels Jahnke| forfatter= | utgivelsesår=2003| tittel=A history of analysis (A history of matematics vol.24)| forlag=American Mathematical Society| side=13| isbn=0-8218-2623-9}}</ref>
* Bind VIII:  Konstruksjon av [[geometrisk følge|geometriske følger]]. Også dobbelte proporsjoner blir behandlet, slik som <math>a:b = c : d = e : f</math>.
* Bind IX: Bruker resultatene fra bind VII og VIII.  Setning IX.14 gir en form av [[aritmetikkens fundamentalteorem]], som sier at en [[primtallsfaktorisering]] av et vilkårlig tall alltid er entydig.  Om setningen er helt samsvarende med fundamentalteoremet eller gir et noe svakere resultat, er omdiskutert.<ref name=AH267>[[#AH|A. Holme: ''Matematikkens historie'']] (Bind 1) s.267</ref>  Setning IX.20 sier at antall primtall er uendelig.  Setning IX.35 gir et uttrykk for summen av et endelig antall ledd i en geometrisk følge. Den siste setningen IX.36 viser hvordan en kan finne [[perfekt tall|perfekte tall]].

=== Bok X: Inkommensurable størrelser ===

Thomas Heath beskriver bok X sm den mest bemerkelsesverdige av alle de 13 bindene og den boka som er mest perfekt i form.  [[Carl Benjamin Boyer|Carl Boyer]] skriver også at dette var den boka som var mest
fryktet.<ref name=CB129>[[#CB|C.B.Boyer: ''A history of mathematics'']] s.129</ref>  Boka omhandler inkommensurable størrelser, svarende til irrasjonale tall.  Innholdet i bindet er hele tiden i en geometrisk form.  Oppdagelsen av de første tilfellene av inkommensurable størrelser skal ha vært gjort av pytagoreerne, og antagelig var en lengde svarende til <math>\sqrt{2}</math> den første som ble oppdaget.<ref name=TH155>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.155</ref>  [[Teodors fra Kyrene]] viste at størrelser svarende til tallene <math>\sqrt{3}, \sqrt{5}, ..., \sqrt{17}</math> er inkommensurable.  Æren for det mer generelle innholdet i bind X er i hovedsak gitt Teaetetos.<ref name=TH402>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.402</ref>

Bok X starter med å legge grunnlaget for det som i dag betegnes som [[ekshausjonsbevis]]<ref>{{kilde www| url=https://snl.no/ekshausjonsbevis |tittel=Ekshausjonsbevis | utgiver=Store norske leksikon |besøksdato=2021-04-23}}</ref> eller «utfyllingsprinsippet»<ref name=AH269>[[#AH|A. Holme: ''Matematikkens historie'']] (Bind 1) s.269</ref>.  Dette er en bevisform hvor en kontinuerlig størrelse, en lengde, et areal eller et volum, blir tilnærmet 
med stadig mindre enheter. For eksempel kan en sirkel tilnørmes med regulære mangekanter av stadig høyere orden.  En slik prosess ligger nært opp til en moderne uendelig [[Grenseverdi|grenseprosess]]. For
grekerne var det imidlertid alltid en prosess som ble avsluttet med en rest, etter et endelig antall steg.<ref>{{Kilde bok| forfatter= Carl B.Boyer| utgivelsesår=1959| tittel=The history of the calculus and its conceptual development| utgivelsessted= New York| forlag=Dover Publications| side=33ff| isbn=0-486-60509-4 }}</ref>

I bok X er det videre drøftet linjer som (i moderne notasjon) kan konstrueres som uttrykk av typen

:<math>a \pm \sqrt{b}  \qquad \sqrt{a} \pm \sqrt{b} \qquad \sqrt{a \pm \sqrt{b}}  \qquad \sqrt{\sqrt{a} \pm \sqrt{b}}\ ,</math>

når <math>a</math> og <math>b</math> er to kommensurable størrelser.  Hver enkelt form er i ''Elementer'' gitt sitt eget navn.

===Bok XI - XIII: Romgeometri===

De tre bøkene XI, XII og XIII drøfter geometri i tre dimensjoner.  [[Arkimedes]] gir Eudoksos æren for å ha vært den første som beregnet volumet av en kjegle og en pyramide.<ref name=AH231>[[#AH|A. Holme: ''Matematikkens historie'']] (Bind 1) s.231</ref>
                                                                            
* Bind XI:  Definisjonene i dette bindet gjelder alle tre bindene om romgeometri.  Her defineres blant annet romlige legemer, en normal til et plan, vinkelen mellom plan og [[romvinkel|romvinkler]].  Mange av setningene i bindet er paralleller til setninger i plangeometri gitt i bind I og IV.  Boka drøfter også formlike [[parallellepiped]].
* Bind XII:  Beregning av volum av ulike romlegemer, som kjegle og pyramide, ved hjelp av utfyllingsprinsippet.  Dette prinsippet blir også brukt til å vise at forholdet mellom arealet av to sirkler er lik forholdet mellom kvadratet av diameterne.
* Bind XIII: Konstruksjon av de fem [[platonsk legeme|platonske legemene]] inne i en kuleflate.

=== Tabelloversikt ===

Den følgende tabellen gir en oversikt over innholdet i Euklids ''Elementer''.

{| class="wikitable"
|+ 
! Bok
! I
! II
! III
! IV
! V
! VI
! VII
! VIII
! IX
! X
! XI
! XII
! XIII
! Sum
|-
! Definisjoner
| 23 || 2 || 11 || 7 || 18 || 4 || 22 || - || - || 16 || 28 || - || - || 131
|-
! Postulater
| 5 || - || - || - || - || - || - || - || - || - || - || - || - || 5 
|-
! Allmenne innsikter
| 5 || - || - || - || - || - || - || - || - || - || - || - || - || 5 
|-
! Setninger
| 48 || 14 || 37 || 16 || 25 || 33 || 39 || 27 || 36 || 115 || 39 || 18 || 18 || 465
|}