Redigerer Trigonometrisk funksjon (avsnitt)

== Utregning ==

Utregningen av trigonometriske funksjoner er et komplisert emne som i dag kan unngås av de fleste, pga. raske [[datamaskin]]er og [[vitenskapelig kalkulator|vitenskapelige kalkulatorer]]. 

I dette avsnittet beskriver vi imidlertid flere detaljer om utregningen i tre viktige sammenhenger: historisk bruk av trigonometriske tabeller, de moderne teknikkene som brukes av datamaskiner, og eksakte verdier for noen bestemte vinkler.

<!-- {{utdypende|Utregning av trigonometriske tabeller}} -->
Før datamaskinene brukte man tabeller trykt i oppslagsbøker og fant mellomliggende verdier ved [[interpolasjon]]. Slike tabeller har vært tilgjengelige så lenge som trigonometriske funksjoner har vært beskrevet (se [[#Historie|Historie]] nedenfor), og ble vanligvis utregnet ved gjentatt bruk av formlene for halve vinkler og summen av vinkler (se [[Trigonometriske identiteter]]) ved å gå ut fra en kjent verdi (slik som <math>\sin(\pi/2) = 1</math>).

<!-- {{utdypende|Eksakte trigonometriske konstanter}} -->
For noen enkle vinkler kan verdiene utregnes for hånd ved hjelp av [[Pythagoras’ læresetning]], som i de følgende eksemplene. Eksakte verdier av sinus, cosinus og tangens for alle multipler av <math>\pi / 60</math> [[radian]]er (3°) kan faktisk finnes [[Eksakte trigonometriske konstanter|for hånd]].

Vi tenker oss en rettvinklet trekant der de to andre vinklene er <math>\pi / 4</math> radianer (45°). Sidene ''b'' og ''a'' er like; vi kan velge <math>a = b = 1</math>. Verdiene av sinus, cosinus og tangens til <math>\pi / 4</math> radianer (45°) kan da finnes ved hjelp av Pythagoras’ læresetning:

:<math>c = \sqrt { a^2+b^2 } = \sqrt2\,.</math>

Derfor:

:<math>\sin \left(\pi / 4 \right) = \sin \left(45^\circ\right) = \cos \left(\pi / 4 \right) = \cos \left(45^\circ\right) = {1 \over \sqrt2}\,</math>,
:<math>\tan \left(\pi / 4 \right) = \tan \left(45^\circ\right) = {{\sin \left(\pi / 4 \right)}\over{\cos \left(\pi / 4 \right)}} = {1 \over \sqrt2} \cdot {\sqrt2 \over 1} = {\sqrt2 \over \sqrt2} = 1\,.</math>

For å bestemme trigonomentriske funksjoner for vinkler på π/3 radianer (60°) og π/6 radianer (30°) starter vi med en likesidet trekant med sidelengde 1. Alle vinkler er π/3 radianer (60 grader). Ved å dele den i to får vi en rettvinklet trekant med vinkler på π/6 radianer (30°) og π/3 radianer (60°). Den korteste siden = 1/2, den nest lengste = (√3)/2 og hypotenusen = 1. Dette gir:

:<math>\sin \left(\pi / 6 \right) = \sin \left(30^\circ\right) = \cos \left(\pi / 3 \right) = \cos \left(60^\circ\right) = {1 \over 2}\,,</math>
:<math>\cos \left(\pi / 6 \right) = \cos \left(30^\circ\right) = \sin \left(\pi / 3 \right) = \sin \left(60^\circ\right) = {\sqrt3 \over 2}\,,</math>
:<math>\tan \left(\pi / 6 \right) = \tan \left(30^\circ\right) = \cot \left(\pi / 3 \right) = \cot \left(60^\circ\right) = {1 \over \sqrt3}\,.</math>
<!-- Vennligst ikke utvid dette avsnittet ved å legge til flere og flere formler for forskjellige vinkler, eller flere formler for de samme vinklene vi har en hel artikkel om [[Eksakte trigonometriske konstanter]], lenket til ovenfor. Utvid heller den. -->

De eksakte verdiene av sinus for vinklene 0°, 30°, 45°, 60° og 90° kan lett huskes som <math>\tfrac{1}{2}\sqrt{0},\tfrac{1}{2}\sqrt{1},\tfrac{1}{2}\sqrt{2},\tfrac{1}{2}\sqrt{3},\tfrac{1}{2}\sqrt{4}</math>. Den tilsvarende rekken for cosinus er rekken for sinus baklengs, og tangens er som nevnt sinus delt på cosinus.

Vanlige datamaskin-[[CPU]]er fra rundt 2000-2005 beregner oftest vha innebygde funksjoner basert på CORDIC-algoritmen (også kjent som Volders algoritme) i kombinasjon med relativt små innebygde oppslagstabeller. Resultatet blir en avansert interpolasjon mellom to tabellverdier med en ekstra desimal pr iterasjon. En <math>cos</math>-beregning kan slik gjøres på rundt 200 CPU-klokkeslag. På vanlige 2GHz CPU-kjerner tilsvarer det ca ti millioner <math>cos</math>-beregninger pr sekund. Hvis man senker kravet til antall desimalers nøyaktighet og setter av mer minne til oppslagstabeller kan beregningene gjøres raskere.