Redigerer Niels Henrik Abel (avsnitt)

=== Tilbake til Christiania ===

Ved årsskiftet 1826/1827 reiste Abel tilbake til Berlin via [[Aachen]], [[Köln]], [[Kassel]] og [[Magdeburg]] uten å ta kontakt med Gauss. Det norske stipendiet gikk nå mot slutten, og han sto snart uten penger. I Berlin fikk han tilbud om å bli redaktør av Crelles Journal, men på grunn av hjemlengsel takket han nei. Crelle på sin side fortsatte å arbeide for å gi Abel en sikker stilling der i byen. Han skrev ferdig første del at sitt store og elegante verk ''Recherches sur les fonctions elliptiques'' om elliptiske funksjoner<ref> N.H. Abel, ''Recherches sur les fonctions elliptiques'', Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd. 2, 101-181 (1827).</ref>. I tillegg fortsatte han arbeidet med polynomligninger. Han visste at når de har grad større enn fire, lar de seg i alminnelighet ikke løse algebraisk. Men det finnes unntak, og Abel ville finne ut hva som karakteriserte slike løsbare ligninger.

I begynnelsen av mai, 1827 er Abel tilbake i Christiania etter noen dager i København. Der hadde han møtt sin forlovede som var flyttet til sin søster i [[Aalborg]]. Sammen med sin onkel Tuxen ble det lagd planer om å finne en ny stilling for henne som guvernante i Norge.<ref name="Stubhaug" /> For at han skal kunne forsørge seg selv og kunne gifte seg, måtte han ha en fast stilling. Ingen i Christiania kunne love han noe sånt, noe som kan skyldes at resultatet av utenlandsoppholdet ikke ble vurdert som spesielt vellykket. Ikke hadde han truffet den store Gauss, og hans arbeid var publisert i en ny journal som få visste om. Men likevel bevilget kollegiet 200 spesidaler for året som fulgte.

[[Fil:Abelmonument.jpg|left|thumb|Abel-monumentet ved Froland verk.]]
Høsten 1827 hadde Christine Kemp fått seg en ny stilling ved [[Frolands verk]]. Abel arbeidet videre på andre delen av den store avhandlingen om elliptiske funksjoner hvor han beskrev deres transformasjoner og lemniskatens deling. Han hadde nå oppgitt tanken på å utgi dette som en bok og ville i stedet publisere innholdet i mindre artikler. Parallelt med dette fortsatte han arbeidet med ligningsteori. Gjennom sine publikasjoner i Crelles Journal begynte han å oppnå berømmelse og anerkjennelse i utlandet. Men hjemme i Norge levde han stadig i trange økonomiske kår etter de store utleggene han hadde hatt på Europa-reisen. Han måtte ta opp nye lån og søkte arbeid som privatlærer. Heldigvis ble det klart på denne tiden at Hansteen ville behøve en vikar i forbindelse med sin forskningsreise til Sibir. Abel skulle ta over undervisningen ved universitetet og på [[den militære høyskole]]n hvor han skulle forelese mekanikk og astronomi. Da han begynte med dette i begynnelsen av 1828, hadde han utsikt til en samlet årslønn på omtrent 500 spesidaler. Men han var nå merket av sykdommen som han hadde lidd av siden oppholdet i Paris. Det viste seg å være [[tuberkulose]].<ref name="Holme" />

Andre del av verket om elliptiske funksjoner var ferdig i februar, 1828. Men da var han blitt klar over at [[Carl Gustav Jacob Jacobi|Carl Gustav Jacobi]] hadde publisert et arbeid i ''Astronomische Nachricthen'' som omhandlet transformasjoner av elliptiske integral. Abel klarte å få med en kommentar til dette i sin egen artikkel hvor han påpeker at Jacobis resultat lett kan utledes fra hans egne transformasjonsformler. Men noen uker senere får Abel virkelig et sjokk da han blir kjent med et nytt arbeid av Jacobi hvor han benytter elliptiske funksjoner som Abel allerede hadde oppdaget, uten å referere til dette arbeidet. Abel ble ''ganske bleeg'' og måtte ta en bitter snaps.<ref name="Stubhaug" /> Men snart har han ferdig en kommentar til Jacobis arbeid som blir sendt til Schumacher i Hamburg på slutten av mai måned.<ref> N.H. Abel, ''Solution d'un problème général concernant la transformation des fonctions elliptiques'', Astronomische Nachrichten Nr. 138 (1828).</ref> Spøkefullt omtalte Abel dette arbeidet som «min dødelse av Jacobi».<ref name="Ore" /> Midt oppi denne kontroversen gjør han et nytt verk ferdig om ligningsteori som Crelle vil trykke.<ref> N.H. Abel, ''Mémoire sur une classe particulière d'équations résolubles algébriquement'', Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd. 4, 131-156 (1829).</ref> Her undersøkte han nærmere det som mange år senere blir omtalt som «Abelske ligninger».

Sommeren 1828 fikk Abel vite fra Crelle at han kunne få en stilling der som «privatdosent». Men Abel hadde liten lyst å forlate Christiania selv om han der fremdeles var i stadige vanskeligheter grunnet sin dårlige økonomi. Han måtte i stor grad også forsørge moren og flere av sine søsken. Etter et ferieopphold på Froland med sin forlovede, fikk han overraskende kontrabeskjed fra Crelle at det likevel ikke ble noe av stillingen i Berlin. Dette var på tross av at Abel nå var blitt berømt ved europeiske læresteder på grunn av kappestriden med Jacobi og den nye matematikken han hadde utviklet. Han innså det nå nødvendig å bekjentgjøre sitt store addisjonsteorem da han ennå ikke hadde hørt noe fra Paris. Tidlig på høsten har han derfor skrevet ferdig en kortere artikkel ''Remarques sur quelques propriétés générales d’une certaine sorte de fonctions transcendantes'' som han igjen sender til Crelle.<ref> N.H. Abel, ''Remarques sur quelques propriétés générales d’une certaine sorte de fonctions transcendantes'', Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd. 3, 313-323 (1828).</ref> Her bruker han teoremet på det spesielle tilfellet med [[elliptisk integral#Hyperelliptiske integral|hyperelliptiske integral]] og hvor for første gang det begrepet oppstår som mange år senere vil ble kalt [[genus (matematikk)|genus]] til en [[algebraisk kurve]].

[[Fil:NHAbelsGravminneFrolandKrk.jpg|mini|Niels Henrik Abels gravminne på kirkegården i Froland]]
Abel fortsatte intenst med sine arbeider, men ble stadig mer svekket av sykdommen. Mens Jacobi skrev sammen sin resultater om elliptiske funksjoner ''Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum'' som han ville få trykt som bok for egen regning, bestemte Abel om å gjøre det samme i et større verk ''Précis d’une théorie des fonctions elliptiques'' som Crelle lovet å trykke uten at det ville koste Abel noe.<ref name="Bjerknes" /> I utlandet var det blitt kjent under hvilke vanskelige forhold Abel arbeidet, og i september 1828 sendte [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]], [[Siméon Denis Poisson|Poisson]], [[Sylvestre François Lacroix|Lacroix]] og Baron de Maurice et brev til kong Karl Johan om situasjonen til Abel. Målet var å få opprettet en stilling for Abel ved vitenskapsakademiet i [[Stockholm]]. Samtidig arbeidet Crelle på nytt for å få skaffe Abel noe lignende i Berlin. Den store Paris-avhandlingen var fremdeles forsvunnet. Uten å nevne denne, tar Abel kontakt med Legendre i Paris. Fra deres korrespondanse går det klart frem at Legendre ser på Abel og hans arbeid med stor beundring.

Julen 1828 tilbrakte Abel sammen med sin Crelly på Froland verk. Han var stadig mer preget av sykdommen og da julefeiringen var over, klarte han ikke å returnere til Christiania. Da han forsto at det begynte å gå mot slutten, skrev han ned et elegant bevis ''Démonstration d’une propriété générale d’une certaine classe de fonctions transcendentes'' på to sider for det som nå kalles Abels addisjonsteorem slik at det ikke skulle gå tapt. Dette ble sendt til igjen sendt til Crelle.<ref> N.H. Abel, ''Démonstration d’une propriété générale d’une certaine classe de fonctions transcendentes'', Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd. 4, 200-201 (1829).</ref> Den 6. april 1829 endte Abel sine dager i sykdom og fattigdom på Froland verk, bare 26 år og 7 måneder gammel. Kun få dager senere og ennå uvitende, sendte Crelle ham et brev der han kunne meddele at nå var Abel sikret fast stilling og en lysende framtid i Berlin.

Abel ble begravet på [[Froland kirkegård]]. Før han døde hadde han skrevet til sin gode venn Mathias Keilhau og bedt han ta vare på sin forlovede. Senere giftet de seg og levde tilsynelatende lykkelige i et barnløst ekteskap.<ref name="Holme" />