Redigerer Maupertuis’ virkningsprinsipp (avsnitt)

===Kast av ball===

En ball med masse ''m&thinsp;'' beveger seg i ''xy''-planet etter å være kastet ut fra origo med en hastighet ''v<sub>0</sub>&thinsp;'' som danner vinkelen ''&theta;<sub>0</sub>&thinsp;'' med ''y''-aksen. Ballen får da i utgangspunktet en energi {{nowrap|''E {{=}} mv<sub>0</sub><sup>2</sup>/2&thinsp;''}} som forblir konstant. Den er påvirket av en konstant [[tyngdekraft]] slik at dens potensielle energi er {{nowrap|''V {{=}} mgy&thinsp;''}} hvor ''g&thinsp;'' er [[tyngdeakselerasjonen]]. Hastigheten ''v&thinsp;'' er da en funksjon av høyden ''y'' til partikkelen og kan skrives som  {{nowrap|''v {{=}} v<sub>0</sub>&radic;(1 - ay)&thinsp;''}} hvor konstanten ''a = mg/E&thinsp;''.  Den kan derfor nå en maksimal høyde ''1/a&thinsp;'' som tilsvarer at den blir kastet rett oppover.

[[Image:Fermat-4.jpg|thumb|right|220px|Ballen følger en kurve som danner vinkelen ''&theta;'' med ''y''-aksen.]]
Det forenkler nå beregningen ved å parametrisere banen med denne høydekoordinaten. Da er det infinitesemale veistykket

: <math> ds = \sqrt{dx^2 + dy^2} = dy\sqrt{1 + x'^2} </math>

hvor ''x' = dx/dy&thinsp;'' og vist i figuren til høyre. Dermed er Maupertuis' virkning gitt ved integralet

: <math> W = m\int_A^B\! dy v(y) \sqrt{1 + x'^2} </math>

Dette matematiske problemet er dermed ekvivalent med gangen til lys gjennom et laminart luftlag hvor brytningsindeksen avtar med høyden på samme måte som i hastigheten. Som i det tilfellet, kan man benytte at med denne parametriseringen er ''x'' en [[variasjonsregning|syklisk koordinat]] slik at

: <math> {\partial\over\partial x'} \Big(v \sqrt{1 + x'^2}\Big) = {vx'\over \sqrt{1 + x'^2}} </math>

må være konstant. Da ''x'/&radic;(1 + x'<sup>&thinsp;2</sup>) = dx/ds'' = sin''&theta;''&thinsp;, betyr det at hastigheten til ballen i ''x''-retning er konstant. Det er jo forventet da ingen krefter virker i den retningen og er den mekaniske utgaven av [[Snells brytningslov]]. På den måten har man  {{nowrap|''x'/&radic;(1 + x'<sup>&thinsp;2</sup>)'' {{=}} sin''&theta;<sub>0</sub>/&radic;(1 - ay)&thinsp;''}} som gir

: <math> {dx\over dy} = {\sin\theta_0\over\sqrt{\cos^2\theta_0 - ay}} </math>

Dette er en første ordens [[differensialligning]] som kan løses ved direkte integrasjon. Resultatet kan skrives som

: <math> y = {ax(2x_0 - x)\over 4\sin^2\theta_0} </math>

hvor  ''x<sub>0</sub>'' = sin''2&theta;''<sub>0</sub>&thinsp;/''a'' er  en integrasjonskonstant. Den er bestemt ut fra betingelsen at ballen beveger seg fra origo med hastighet ''v<sub>0</sub>''. Løsningen viser at den deretter følger en [[parabel]] og når sitt høydepunkt ''y<sub>0</sub>'' = cos<sup>2</sup>''&theta;''<sub>0</sub>&thinsp;/''a'' for  ''x = x<sub>0</sub>''. Den faller ned igjen i en avstand av {{nowrap|''2x<sub>0</sub>''}} fra origo.