Redigerer Matrisemekanikk (avsnitt)

==Kvantisering av spinn==

Arbeidet til Born og Jordan ble samme høst fortsatt sammen med i Heisenberg i det som senere er blitt omtalt som et ''Dreimännerarbeit''. Kvantiseringen av det elektromagnetiske feltet ble videreført og vist å gi resultat i overensstemmelse med hva Einstein flere år tidligere hadde funnet for [[Plancks strålingslov#Fluktuasjoner i strålingen|energifluktuasjonene]] i [[sort stråling]].<ref name = BJH> M. Born, W. Heisenberg und P. Jordan, ''Zur Quantenmechanik'' II, Zeit. Phys. '''35''', 557-615 (1926). [http://www.psiquadrat.de/downloads/bhj1926.pdf PDF] </ref>

Også av stor betydning fikk [[Kvantisert dreieimpuls|kvantisering av dreieimpuls]] som kom ut av dette samarbeidet. Betrakter man én partikkel, er denne gitt ved [[vektorprodukt]]et <math> \mathbf{J} = \mathbf{x} \times \mathbf{p} </math>. Kvantemekanisk vil det tilsvare den vektorielle matrisen <math>  \hat\mathbf{J} = \hat\mathbf{x} \times\hat\mathbf{p} \; </math> med tre matrisekomponenter <math> \hat{J}_1 = \hat{x}_2\hat{p}_3 - \hat{x}_3\hat{p}_2 ,</math>  og tilsvarende for <math> \hat{J}_2</math> og <math> \hat{J}_3. </math> Ved bruk av reglene for regning med kommutatorer, finner man da den nye kommutator

: <math> \begin{align}  \left[\hat{J}_1, \hat{J}_2\right] &= [\hat{x}_2\hat{p}_3 - \hat{x}_3\hat{p}_2, \hat{x}_3\hat{p}_1 - \hat{x}_1\hat{p}_3] = [ \hat{x}_2\hat{p}_3,\hat{x}_3\hat{p}_1]  + [ \hat{x}_3\hat{p}_2, \hat{x}_1\hat{p}_3] \\ &= \hat{x}_2 [\hat{p}_3,\hat{x}_3] \hat{p}_1 + \hat{x}_1 [\hat{x}_3,\hat{p}_3] \hat{p}_2 = i\hbar ( \hat{x}_1\hat{p}_2 - \hat{x}_2\hat{p}_1) = i\hbar\hat{J}_3 \end{align}  </math>

Tilsvarende resultat finnes ved syklisk ombytte av indeksene for de andre kommutatorene av disse tre matrisene. Ved bruk av det antisymmetriske [[Levi-Civita-symbol]]et, kan de sammenfattes i den ene uttrykket

: <math> [\hat{J}_a, \hat{J}_b] = i\hbar\,\varepsilon_{abc}\hat{J}_c </math>

hvor man på høyre side summerer over indeksen ''c&thinsp;'' som opptrer dobbelt. Denne ene kommutatoren inneholder all informasjon om kvantemekanikk spinn.<ref name = Weinberg/>

Ved direkte utregningen finner man at kommutatoren 

: <math> \left[\hat{J}_a,\hat{\mathbf{J}}^2\right] = 0  </math>

Det betyr at man kan diagonalisere matrisen <math> \hat\mathbf{J}^2 </math> sammen med en av komponentene. Det er da vanlig å velge denne som <math> \hat{J}_3 .</math> Ut fra dette fant Born, Heisenberg og Jordan at <math> \hat\mathbf{J}^2 </math> ganske  enkelt blir proporsjonal med enhetsmatrisen og gitt som

: <math> \hat\mathbf{J}^2  = j(j+1)\hbar^2  </math>

hvor kvantetallet ''j&thinsp;'' kan ta heltallige verdier som ''j'' = 0, 1, 2, 3 og så videre eller halvtallige verdier som ''j'' = 1/2, 3/2, 5/2 etc. 

For Heisenberg må dette ha vært et oppmuntrende resultat da han tidligere hadde innsett nødvendigheten av halvtallige kvantetall for å kunne forklare den anomale [[Zeeman-effekt]]en.<ref name = Pais/> 

For hver verdi av spinn-kvantetallet ''j'' er de diagonale elementene i matrisen <math> \hat{J}_3 </math> gitt ved et nytt kvantetall med verdiene ''m'' = - ''j'', -''j'' + 1, - ''j'' + 2, ...., ''j'' - 1, ''j''. De tre spinn-matrisene har derfor dimensjon (2''j'' + 1)&times;(2''j'' + 1). Når ''j'' = 1/2, vil det gi 2&times;2-matriser.

===Spinn-1/2===

For å beregne elementene i spinn-matrisene introduserte de matrisekombinasjonene

: <math>  \hat{J}_\pm =  \hat{J}_1 \pm i \hat{J}_2 </math>

med kommutatoren 

: <math>  \left[\hat{J}_3, \hat{J}_\pm \right] = \pm \hbar\hat{J}_3\ </math>

De kunne herav beregne elementene til disse matrisene. Mens

: <math>  (\hat{J}_3)_{mm'} = m\hbar\,\delta_{m,m'} </math>

hvor indeksene ''m&thinsp;'' tar samme samme verdier som kvantetallet ''m'', fant de rent algebraisk at

: <math>  (\hat{J}_+)_{mm'} = \hbar \delta_{m, m' + 1} \sqrt{j(j + 1) - mm'} </math>

mens matrisen  <math> \hat{J}_- </math> finnes ved å [[Matrise#Transponering|transponere]] <math> \hat{J}_+ .  </math> 

I det enkleste tilfellet for spinn-1/2 gir dette 

: <math>  \hat{J}_3 =  {\hbar\over 2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} </math>

sammen med

: <math>  \hat{J}_+ = \hbar \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \;\;  \hat{J}_-  = \hbar \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. </math>

Fra definisjonen av disse to matriser følger nå at

: <math>  \hat{J}_1 = {\hbar\over 2}  \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \;\;  \hat{J}_2  = {\hbar\over 2}  \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}. </math>

På denne måten fremkommer [[Pauli-matrise]]ne som [[Wolfgang Pauli]] introduserte et år senere for å kunne beskrive et [[elektron]] med spinn. Sammen med Jordan hadde da Heisenberg allerede vist at  denne nye matrisemekanikken løste de gamle problemene forbundet med [[finstruktur]]en i [[hydrogenatom]]et og Zeeman-effekten.<ref name = HJ> W. Heisenberg und P. Jordan, ''Anwendung der Quantenmechanik auf das Problem der anomalen Zeemaneffekte'', Zeit. Phys. '''37''', 263-277 (1926). [http://www.neo-classical-physics.info/uploads/3/0/6/5/3065888/heisenberg_-_anomalous_zeeman_effect.pdf PDF] </ref>