Redigerer Konform avbilding (avsnitt)

==Andre anvendelser==
[[Fil:Droites disquePoincare.svg|thumb|240px|[[Geodetisk kurve|Geodetiske linjer]] i det  [[hyperbolsk geometri|hyperbolske planet]] konformt avbildet på innsiden av en sirkel.]]
Konforme avbildninger kan gjøres av [[mangfoldighet]]er med dimensjoner ''N'' > 2. For eksempel kan en ''N''-dimensjonal kuleflate  eller [[sfærisk geometri|sfærisk rom]] '''S'''<sup>''N''</sup> avbildes på et [[euklidsk rom]] '''E'''<sup>''N''</sup> ved en stereografisk projeksjon. Hvis dette skjer gjennom et hyperplan gjennom kulens sentrum, vil den sfæriske metrikken ta formen

: <math> d\sigma^2 = {4d\mathbf{x}\cdot d\mathbf{x}\over (1 + \mathbf{x}\cdot\mathbf{x})^2} </math>

på samme måte som i ''N'' = 2 dimensjoner. Her er '''x''' = (''x''<sup>1</sup>, ''x''<sup>2</sup>, ... , ''x''<sup>''N''</sup>) kartesiske koordinater i det euklidske rommet.

Mens det sfæriske rommet '''S'''<sup>''N''</sup> har konstant, positiv [[krumning]], har det [[hyperbolsk geometri|hyperbolske rommet]] '''H'''<sup>''N''</sup> konstant, negativ krumning. Det kan formelt beskrives som en kuleflate med [[imaginært tall|imaginær]] radius. Metrikken for dette rommet  kan dermed oppnås fra den sfæriske ved substitusjonen ''R''<sup>&thinsp;2</sup> &rarr; - ''R''<sup>&thinsp;2</sup>. På den måten finner man det kvadrerte linjeelementet

: <math> d\sigma^2 = {4d\mathbf{x}\cdot d\mathbf{x}\over (1 - \mathbf{x}\cdot\mathbf{x})^2} </math>

Det hyperbolske rommet er derfor også konformt ekvivalent med det euklidske rommet '''E'''<sup>''N''</sup> og blir avbildet på innsiden av en ''N''-dimensjonal kule.  

Denne hyperbolske metrikken ble først etablert av [[Eugenio Beltrami]] som gjorde bruk av den nye [[Riemanns differensialgeometri|differensialgeometrien]] til [[Bernhard Riemann]]. I {{nowrap|''N'' {{=}} 2}} dimensjoner inneholder den viktige symmetrier som ble avdekket av [[Henri Poincaré]]. Derfor omtales også geometrien ofte som [[Poincarés diskmodell]] for det hyperbolske planet.

===Penrose-diagram===
[[Fil:Penrose.PNG|thumb|240px|Penrose-diagram for det todimen-sjonale  [[Spesiell relativitet#Minkowski-rom|Minkowski-rommet]] med konform tid ''T'' i vertikal retning og konform avstand ''R'' langs den horisontale aksen.]]

[[Spesiell relativitetsteori]] kan beskrives i et 4-dimensjonalt [[Spesiell relativitet#Minkowski-rom|Minkowski-rom]]. Når lyshastigheten settes lik med {{nowrap|''c'' {{=}} 1}}, kan det beskrives ved koordinater (''t'',''x,y,z'') eller tilsvarende [[kulekoordinater]] (''t'';''r,&theta;,&phi;''). Mange prosesser i dette rommet er uavhengige av den radielle retningen gitt ved vinklene (''&theta;,&phi;'') slik at linjeelementet effektivt er {{nowrap|''d&sigma;''<sup>&thinsp;2</sup> {{=}} ''dt''<sup>&thinsp;2</sup> - ''dr''<sup>&thinsp;2</sup>.}} Lysstråler følger nå baner ''r'' = &plusmn; ''t'' som er rette linjer som danner 45&deg; med aksene i det 2-dimensjonale Minkowski-rommet.

Dette uendelig store [[tidrom]] kan konformt avbildes på et endelig tidrom med koordinater (''p,q'') hvor

: <math> t + r = \tan p, \;\;\; t - r = \tan q </math>

og som tar verdier i intervallet fra -''&pi;''&thinsp;/2 til ''&pi;''&thinsp;/2. Den reduserte Minkowski-metrikken tar dermed formen

: <math> d\sigma^2 = {dp dq\over \cos^2p  \cos^2p} </math>

Ved å innføre konform tid ''T'' = ''p'' + ''q'' og radiell avstand {{nowrap|''R'' {{=}} ''p'' - ''q''}}, er denne proporsjonal med {{nowrap|''ds''<sup>&thinsp;2</sup> {{=}} ''dT''<sup>&thinsp;2</sup> - ''dR''<sup>&thinsp;2</sup>}} slik at hele Minkowski-rommet befinner seg innen et endelig kvadrat. En lysstråle som fulgte en bane med {{nowrap|''d&sigma;'' {{=}} 0}}, vil etter transformasjonen følge {{nowrap|''ds'' {{=}} 0}} som betyr at den fortsatt danner 45&deg; med disse nye koordinataksene. Det resulterende bildet av tidrommet blir vanligvis omtalt som et ''Penrose-diagram'' etter den britiske fysiker [[Roger Penrose]].<ref name="MTW">C.W. Misner, K.S. Thorne and J.A. Wheeler, ''Gravitation'', W. H. Freeman, San Francisco (1973). ISBN 0-7167-0344-0.</ref>

Tidrommet rundt et sfærisk symmetrisk, [[sort hull]] kan også fremstilles i et slikt Penrose-diagram. Man benytter da [[Schwarzschilds løsning|Schwarzschild-løsningen]] av [[Generell relativitet|Einsteins ligninger]] ved bruk av [[Schwarzschilds løsning#Singulariteter og analytisk forlengelse|Kruskal-Szekeres-koordinater]]. Fordelen med denne konforme fremstillingen er at den gir en bedre forståelse av geometrien og fysiske prosesser innenfor horisonten gitt ved [[Schwarzschild-radius|Schwarzschild-radien]].