Redigerer Hydrogenatom (avsnitt)

==Kvantemekanisk beregning==

Etter at [[Heisenberg]] etablerte den første [[matrisemekanikk]]en sommeren 1925, var det viktige å finne ut om den kunne forklare mer kompliserte system enn den enkle [[Matrisemekanikk#Harmonisk oscillator|harmoniske oscillatoren]] Heisenberg hadde kvantisert.
Allerede samme høst lyktes [[Wolfgang Pauli]] å beregne de energinivåene til hydrogenatomet ved å gjøre bruk av den spesielle [[Runge-Lenz-vektor]]en. Den opptrer i det tilsvarende klassiske  [[tolegemeproblem|topartikkelsystemet]] som blir holdt sammen av [[Coulombs lov|Coulomb-kraften]].<ref name = Longair> M. Longair, ''Quantum Concepts in Physics'', Cambridge University Press, England (2014). ISBN 978-1-107-01709-2. </ref> 

I denne nye [[kvantemekanikk]]en blir de klassiske variable <math>\mathbf{r} </math> og <math>\mathbf{p} </math> beskrevet ved operatorer <math>\hat\mathbf{r} </math> og <math>\hat\mathbf{p} </math>.  Rekkefølgen av slike faktorer er viktig ved multiplikasjon. Dette kommer til uttrykk ved at de tilfredsstiller en [[Kvantemekanikk#Kvantedynamikk|kanonisk kommutator]]. 
De kvantiserte energiene til atomet kan da finnes som egenverdiene til [[Hamilton-operator]]en som i dette tilfellet er

: <math> \hat{H} = {\hat\mathbf{p}^2\over 2m} - {k\over\hat{r}} </math>

hvor ''k'' er en konstant. Her er operatoren <math> 1/\hat{r} = \hat{r}^{-1} </math> definert ved at  <math> \hat{r}\cdot \hat{r}^{-1} = \hat{r}^{-1}\cdot\hat{r} = 1.</math>

Den klassiske dreieimpulsen <math>\mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p} </math> er bevart under bevegelsen til elektronet. Kvantemekanisk betyr det at vektoroperatoren <math>  \,\hat\mathbf{L} = \hat\mathbf{r} \times\hat\mathbf{p} \, </math> har en kommutator <math> [\hat\mathbf{L},\hat{H}] = 0. </math>  På samme måte vil den klassisk bevarte
Runge-Lenz-vektoren <math>\mathbf{A} </math> bli en tilsvarende vektoroperator <math> \hat\mathbf{A} </math> med kommutator <math> [\hat\mathbf{A},\hat{H}] = 0. </math>  Den kan skrives som

: <math> \hat\mathbf{A} = {1\over 2}\left(\hat\mathbf{p} \times \hat\mathbf{L} - \hat\mathbf{L} \times \hat\mathbf{p} \right) - mk {\hat\mathbf{r}\over \hat{r}}  </math>

Det første leddet er gjort hermitisk da operatoren <math> \hat\mathbf{p} \times \hat\mathbf{L} </math>  ikke er det fordi  <math>  \,\hat\mathbf{p} </math> og <math>  \,\hat\mathbf{L} </math> ikke kommuterer med hverandre. Ved direkte utregning finner man nå at

: <math>  \hat\mathbf{A}^2 = m^2k^2 + 2m\hat{H}( \hat\mathbf{L}^2 + \hbar^2 ) </math>

sammen med at  <math> \,\hat\mathbf{L}\cdot \hat\mathbf{A } = \hat\mathbf{A}\cdot \hat\mathbf{L }  = 0. </math> Det er å forvente da de to klassiske vektorene står vinkelrett på hverandre.<ref name = MIT> M. Born, ''Problems of Atomic Dynamics'', MIT Press, Massachusetts (1970). ISBN 0-262-52019-2. Forelesninger ved [[MIT]] 1925-26.</ref>

Kommutatorene mellom <math>  \,\hat\mathbf{L} </math> og <math>  \,\hat\mathbf{A} </math> kan regnes ut og vil anta samme form som de tilsvarende, klassiske [[Runge-Lenz-vektor#Poisson-klammer|Poisson-klammene]]. I tillegg til <math>  [\hat{L}_a, \hat{L}_b] = i\hbar\,\varepsilon_{abc}\hat{L}_c </math> vil man da få

: <math>  [\hat{L}_a, \hat{A}_b] = i\hbar\,\varepsilon_{abc} \hat{A}_c ,  \;\;  [\hat{A}_a, \hat{A}_b]  = - 2m\hat{H} i\hbar\,\varepsilon_{abc} \hat{L}_c .</math>

Ved å definere den nye operatoren

: <math>   \hat\mathbf{M} = \left({1\over -2m\hat{H}}\right)^{1/2}  \hat\mathbf{A} </math>

kan de tre kommutatorene skrives på den kompakte formen <math>  \hat\mathbf{L} \times \hat\mathbf{L} =  \hat\mathbf{M} \times \hat\mathbf{M}  = i\hbar\,\hat\mathbf{L} </math>  og <math> \, \hat\mathbf{L} \times \hat\mathbf{M} =  i\hbar\,\hat\mathbf{M}. </math>  Derfor er det naturlig å innføre 

: <math>  \hat\mathbf{R} =  {1\over 2}(\hat\mathbf{L}  +  \hat\mathbf{M}), \; \hat\mathbf{S} = {1\over 2}(\hat\mathbf{L}  -  \hat\mathbf{M})</math>

som kommuterer med hverandre. De er nye [[spinn]]operatorer da  <math>\hat\mathbf{R} \times \hat\mathbf{R} = i\hbar\,\hat\mathbf{R}  </math> og <math>\, \hat\mathbf{S} \times \hat\mathbf{S} = i\hbar\,\hat\mathbf{S} </math>  som I tillegg har samme størrelse,  <math> \hat\mathbf{R}^2 =  \hat\mathbf{S}^2.  </math>  Ved å gjøre bruk av at <math> \, \hat\mathbf{L} \cdot \hat\mathbf{M} = \hat\mathbf{M} \cdot \hat\mathbf{L} = 0, </math> har man derfor

: <math> \hat\mathbf{R}^2 + \hat\mathbf{S}^2 = {1\over 2}(\hat\mathbf{L}^2 + \hat\mathbf{M}^2 ) = 2\hbar^2 s (s + 1) </math>

hvor dette spinnkvantetallet vil ha verdiene ''s'' = 0, 1/2, 1, 3/2 og så videre. Her kan <math>  \hat\mathbf{M}^2 </math> uttrykkes ved <math>  \, \hat\mathbf{A}^2 </math> slik at egenverdiene <math> E </math> til Hamilton-operatoren <math> \hat{H} </math> er bestemt ved

: <math> 4\hbar^2s(s+1) = \hat\mathbf{L}^2 - {1\over 2mE}\left[m^2k^2 + 2mE( \hat\mathbf{L}^2 + \hbar^2)\right] </math>

Dermed blir

: <math> E = - {m\over 2\hbar^2} {k^2 \over (2s +1)^2} </math>

som er nøyaktig Bohrs resultat for energinivåene i hydrogenatomet hvor ''k'' = ''e''<sup>&thinsp;2</sup>/4''&pi;&thinsp;&epsilon;''<sub>0</sub> med hovedkvantetall {{nowrap|''n'' {{=}} 2''s'' + 1}}. Det tar som forventet verdiene  ''n'' = 1, 2, 3 og så videre.<ref name = Weinberg> S. Weinberg, ''Lectures on Quantum Mechanics'', Cambridge University Press, England (2015). ISBN 978-1-107-11166-0.</ref>