Redigerer Dirac-ligning (avsnitt)

==Kovariant formulering==
[[Fil:Dirac's commemorative marker.jpg|thumb|300px|Plakett i [[Westminster Abbey]] til minne om [[Paul Dirac]] og hans ligning.]]

Hvis man multipliserer Dirac-ligningen med <math> \beta </math> fra venstre, kan den omformes til

: <math> i\hbar \left(\beta\frac{\partial}{\partial t} + c \beta\boldsymbol{\alpha}\cdot\boldsymbol{\nabla}\right)\! \psi(\mathbf{r},t) =  mc^2\psi(\mathbf{r},t)  </math>

Den kan nå skrives på [[kovariant relativitetsteori|kovariant]] form i det firedimensjonale [[tidrom]]met. Benytter man den [[metrisk tensor|metriske tensor]] {{nowrap|''&eta;<sub>&mu;&nu;</sub>''}} med diagonale komponenter {{nowrap|(1,-1,-1,-1)}} og koordinater {{nowrap|''x<sup>&mu;</sup>'' {{=}} (''ct'', '''r'''),}}  blir da

: <math> (i\hbar \gamma^\mu\partial_\mu - mc)\psi(x) = 0 </math>

når man gjør bruk av [[Einsteins summekonvensjon]]. Her er <math> \partial_\mu = \partial/\partial{x^\mu} =  (\partial/\partial{ct}, \boldsymbol{\nabla}) </math> den kovariante [[gradient]]operatoren og <math> \gamma^\mu = ( \beta, \beta\boldsymbol{\alpha}) </math> er modifiserte Dirac-matriser. De oppfyller nå

: <math>  \gamma_\mu \gamma_\nu  +  \gamma_\nu \gamma_\mu = 2\eta_{\mu\nu} </math>

med hermitisk adjungerte <math>  \gamma_\mu^\dagger =  \gamma_0 \gamma_\mu \gamma_0. </math> Fra de opprinnelige <math> \boldsymbol{\alpha} </math>- og <math> \beta</math>-matrisene er da

: <math> \gamma_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad  \boldsymbol{\gamma} =  \begin{pmatrix} 0 & \boldsymbol{\sigma}  \\ - \boldsymbol{\sigma}  & 0 \end{pmatrix}  </math>

Ved å definere den '''Dirac-adjungerte''' spinoren som

: <math> \bar\psi(x) = \psi^\dagger(x)\gamma_0, </math>

kan sannsynlighetsstrømmen utvides til en firevektor <math> J^\mu = c\bar\psi\gamma^\mu\psi = (c\rho, \mathbf{J}) </math> med en kovariant [[divergens]] <math> \partial_\mu J^\mu = 0. </math>

===Frie spinorer===
Beskrivelsen av relativistiske partikler er litt enklere når man benytter [[måleenhet]]er hvor [[lyshastighet]]en ''c'' = 1. En fri partikkel har da en [[Kovariant relativitetsteori#Fireimpuls|4-impuls]] <math> p^\mu = (p_0, \mathbf{p}) </math> der dens energi <math> p_0 = \pm E</math> er gitt ved [[Kovariant relativitetsteori#Fireimpuls|massebetinelsen]] 

: <math> p^\mu p_\mu = \eta_{\mu\nu}p^\mu p^\nu = p^2 = p_0^2 - \mathbf{p}^2 = m^2 </math>

og kan være både positiv og negativ. Dirac-spinoren for en fri partikkel med positiv energi har da form som en  [[Bølge#Plane bølger|plan bølge]]

: <math> \psi(x) = u(p) e^{-ip\cdot x/\hbar} </math>

der formen til impulsspinoren ''u''&thinsp;(''p'') er bestemt av Dirac-ligningen. Den gir nå

: <math> (p\!\!\!/ - m) u(p) = 0 </math>

når man benytter [[Richard Feynman|Feynmans]] slashnotasjon <math> p\!\!\!/ :=  p^\mu\gamma_\mu </math> som gir mer kompakte formler.<ref name = QED> R.P. Feynman, ''Quantum Electrodynamics'', Frontiers in Physics, W.A. Benjamin Inc, New York (1961), online [https://archive.org/details/ost-physics-feynman-quantumelectrodynamics/mode/2up?view=theater archive.org]</ref> Ved å splitte spinoren opp i store og små komponenter, er nå disse bestemt ved matriseligningen

: <math>  \begin{pmatrix} p_0 - m & -\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{p}  \\ \boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{p}   & - p_0 - m \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \phi \\ \chi \end{pmatrix} = 0 </math>

Da nå <math> p_0 = + E, </math> kan de små komponentene finnes fra

: <math> \chi = {\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{p}\over E + m} \phi </math>

Dermed tar den fulle impulsspinoren formen

: <math> u(+E, \mathbf{p}) = A\begin{pmatrix} 1 \\  {\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{p}\over E + m}  \end{pmatrix} \phi </math>

hvor ''A&thinsp;'' er en normeringskonstant og den nøyaktige formen til 2-komponentspinoren <math> \phi </math> er bestemt av spinnretningen til partikkelen.<ref name = Sakurai/>

Når både partikkelens energi <math> p_0 = - E </math> og  3-impuls er negative, er den tilsvarende løsningen

: <math> u(-E, - \mathbf{p}) = B \begin{pmatrix}  {\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{p}\over E + m}  \\ 1 \end{pmatrix} \chi </math>

der ''B&thinsp;'' igjen er en normeringskonstant. Denne impulsspinoren for negative energier betegnes vanligvis <math> v(p) </math> og kan også finne fra matriseligningen 

: <math> (p\!\!\!/ + m) v(p) = 0 </math>

der nå <math> p^\mu = (E, \mathbf{p}). </math> Ved å la Dirac-spinoren <math> \psi(x) </math> ikke lenger betegne en èn-partikkel bølgefunksjon, men et relativistisk [[kvantefeltteori|kvantefelt]], vil disse spinorløsningene med negativ energi beskrive [[antipartikkel|antipartikler]].<ref name = PS/>

===Normering===

Bølgefunksjonen <math> \psi(x) = u(p) e^{-ip\cdot x/\hbar} </math> for en fri Dirac-partikkel kan normeres på flere forskjellige vis. Mest hensiktsmessig er at dette blir gjort på den samme, kovariante måten som for relativistiske [[Klein-Gordon-ligning#Normering|Klein-Gordon-partikler]]. Da definerer man et indreprodukt mellom to slike funksjoner basert på integralet over ladningstettheten <math> J_0 = \psi^\dagger\psi .</math> Det gir normeringen

: <math>\begin{align} (\psi,\psi') &=  \int\! d^3 x \,\psi^\dagger(x)\psi'(x) \\ &= u^\dagger(p) u(p) \int\! d^3 x\, e^{i(\mathbf{p} - \mathbf{p}')\cdot\mathbf{x}/\hbar} \end{align} </math>

som man da vil skal ha verdien

: <math> (\psi,\psi') = 2E (2\pi\hbar)^3 \delta({\mathbf{p} - \mathbf{p}'}) </math>

Det betyr at Dirac-spinorene må være normert slik at

: <math> u^\dagger(p)u(p) = v^\dagger(p)v(p) = 2E </math>

En direkte utregning gir nå normeringskonstantene <math> A = B = \sqrt{E + m} </math> når 2-komponentspinorene som angir spinnretningen, er normert som <math> \phi^\dagger\phi = \chi^\dagger\chi = 1. </math> De relativistiske spinorene tar dermed den endelige formen

: <math> u_s(p) =  \sqrt{E + m} \begin{pmatrix} 1 \\  {\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{p}\over E + m}  \end{pmatrix} \phi_s </math>

: <math> v_s(p) =  \sqrt{E + m} \begin{pmatrix}  {\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{p}\over E + m}  \\ 1 \end{pmatrix} \chi_s </math>

hvor indeksen ''s'' = 1,2 avhengig av om partikkelen har spinn opp eller ned. Denne normeringen betyr også at indreproduktet 

: <math> \bar{u}(p)u(p) = -  \bar{v}(p)v(p) = 2m </math> 

er som forventet en Lorentz-skalar.<ref name = Tony> I.J.R. Aitchison and A.J.G. Hey, ''Gauge Theories in Particle Physics'', Institute of Physics Publishing, Bristol (1989). ISBN 0-85274-328-9.</ref>

For beregning av [[Feynman-diagram]] med Dirac-partikler opptrer også ofte produktene

: <math> \begin{align} & \sum_s u_s(p) \bar{u}_s(p) = p\!\!\!/ + m  \\ & \sum_s v_s(p) \bar{v}_s(p) = p\!\!\!/ - m  \end{align} </math>

Begge sidene av disse ligningene er nå 4&times;4 matriser.

===Utvidete Dirac-matriser===

Den fundamentale antikommutatoren 

: <math> \{ \gamma_\mu, \gamma_\nu\} := \gamma_\mu \gamma_\nu  +  \gamma_\nu \gamma_\mu = 2\eta_{\mu\nu} </math>

mellom de elementære Dirac-matrisene betyr at deres kvadrat er enten +1 eller -1. I tillegg skifter produktet av to av dem fortegn ved at  faktorene ombyttes. Det betyr at man maksimalt kan multiplisere sammen fire forskjellige slike matriser. Dette spesielle produktet er

: <math> \gamma_5 = i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3 =  i\gamma_0\gamma_x\gamma_y\gamma_z </math>

hvor ''i'' = &radic;-1 er tatt med for å gjøre denne matrisen [[Matrise#Kvadratiske matriser|selvadjungert]], <math> \gamma_5 = \gamma_5^\dagger.</math> I tillegg er da <math> \gamma_5\gamma_\mu +  \gamma_\mu\gamma_5 = 0 </math> og <math> \gamma_5^2 = 1.</math> Med den representasjonen av gammamatrisene som tidligere er brukt, er

: <math> \gamma_5 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} </math>

Her inngår matriseelementene 1 som i virkeligheten er 2&times;2 [[Identitetsmatrise|enhetsmatriser]].

Matrisen <math> \gamma_5 </math> består av et produkt av fire elementære matriser og er et eksempel på en «utvidet Dirac-matrise». Alle har dimensjon 4&times;4 og det kan derfor maksimalt finnes 2&sdot;4<sup>2</sup> = 32 slike matriser da de kan inneholde komplekse element. Men den fundamentale antikommutatoren utgjør 4<sup>2</sup> = 16 reelle betingelser. Det finnes derfor i alt 32 - 16 = 16 utvidete Dirac-matriser.<ref name = PS/>

Enhetsmatrisen og <math> \gamma_5 </math> utgjør sammen med de fire elementære Dirac-matrisene til sammen 2 + 4 = 6 matriser. Mens 
<math> \gamma_5 </math> består av et produkt med fire elementære matriser, kan man lage fire forskjellige produkt med tre  elementære matriser. Tilsammen kan disse fire matrisene grupperes som <math> \gamma_5\gamma_\mu. </math> 

Produktet av to elementære matriser kan splittes opp som 

: <math> \gamma_\mu \gamma_\nu = {1\over 2}(\gamma_\mu \gamma_\nu - \gamma_\nu \gamma_\mu) + {1\over 2}(\gamma_\mu \gamma_\nu + \gamma_\nu \gamma_\mu) </math>

Her er det siste leddet proporsjonalt med en 4&times;4 enhetsmatrise, mens det første kan uttrykkes ved den antisymmetriske kombinasjonen

: <math> \sigma_{\mu\nu} = {i\over 2} [\gamma_\mu, \gamma_\nu] :=  {i\over 2} (\gamma_\mu\gamma_\nu - \gamma_\nu\gamma_\mu)</math>

Det er i alt 4&sdot;3/2 = 6 slike matriser. Dermed har man funnet alle de 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 utvidete Dirac-matrisene.