Redigerer Sirkelinversjon (avsnitt)

==Analytisk beskrivelse==
[[Fil:Inv-kreis-gerade.svg|thumb|300px|Inversjon i den <span style="color:red;"> røde </span> sirkelen. Til venstre trans-formeres to sirkler over i hverandre, mens på høyre side transformeres to sirkler gjennom origo til linjer.]]
Ved bruk av [[kartesisk koordinatsystem|kartesiske koordinater]] i planet vil hvert punkt {{nowrap|''P'' {{=}} (''x,y'')}} bli avbildet på et invers punkt {{nowrap|''P'&thinsp;'' {{=}} (''X,Y'')}}. Settes radius til inversjonssirkelen til å være  {{nowrap|''r'' {{=}} 1}}, vil dermed koordinatene til disse to punktene være forbundet ved {{nowrap|(''x''<sup>&thinsp;2</sup> + ''y''<sup>&thinsp;2</sup>)&sdot;(''X''<sup>&thinsp;2</sup> + ''Y''<sup>&thinsp;2</sup>) {{=}} 1}}. Samtidig ligger punktene ''P'' og ''P'&thinsp;'' på samme linje fra origo ''O''. Det betyr at {{nowrap|''x''/''y'' {{=}}  ''X''/''Y''}}. Inversjon i sirkelen {{nowrap|''r'' {{=}} 1}} har derfor den analytiske formen

: <math> (X,Y) = {(x,y)\over x^2 + y^2} </math>

Den inverse transformasjonen har samme form der (''x,y'') og (''X,Y'') byttes om.<ref name = Pedoe> D. Pedoe, ''A Course of Geometry for Colleges and Universities'', Cambridge University Press, London (1970). ISBN 0-521-07638-2.</ref>

Betrakter man en rett [[linje]] ''ax'' + ''by'' + ''c'' = 0, vil den etter en sirkelinversjon gå over til

: <math> aX + bY + c(X^2 + Y^2) = 0 </math>
 
Dette beskriver i alminnelighet en [[sirkel]]. Men i det spesielle tilfellet at ''c'' = 0, går linjen gjennom origo og den transformeres som forventet over i seg selv.

Når ''c'' &ne; 0, kan ligningen for den transformerte linjen skrives som

: <math>\left(X+\frac{a}{2c}\right)^2+ \left(Y+\frac{b}{2c}\right)^2=\frac{a^2+b^2}{4c^2} </math>

Denne analytiske beskrivelsen gir derfor både koordinatene for senteret til den resulterende sirkel samt dens radius uttrykt ved retningen til den gitte linjen.

===Inversjon av en sirkel===

En sirkel med radius ''r'' og sentrum i (''x''<sub>0</sub>,''y''<sub>0</sub>) er gitt ved ligningen {{nowrap|(''x'' - ''x''<sub>0</sub>)<sup>2</sup> + (''y'' - ''y''<sub>0</sub>)<sup>2</sup> {{=}} ''r''<sup>&thinsp;2</sup>}}. Den transformeres på samme måte til 

: <math> (X^2 + Y^2)(x_0^2 + y_0^2 - r^2) -2Xx_0 - 2Yy_0 + 1 = 0 </math>

Når ''k'' = ''x''<sub>0</sub><sup>2</sup> +  ''y''<sub>0</sub><sup>2</sup> - ''r''<sup>&thinsp;2</sup> &ne; 0, er resultatet derfor en ny sirkel. Ligningen som beskriver den, kan omformes til

: <math> \Big(X - {x_0\over k}\Big)^2 + \Big(Y - {y_0\over k}\Big)^2 = {r^2\over k^2} </math>

som gir dens sentrum og radius.<ref name = Pedoe/>

I det spesielle tilfellet at ''k'' = 0 går den opprinnelige sirkelen gjennom origo (0,0), det vil si sentrum til inversjonssirkelen. Den transformeres da til en rett linje med ligningen <math> 2Xx_0 + 2Y\!y_0 = 1 </math> i overenstemmelse med hva man også kan vise ved rene, geometriske betraktninger.

===Inversjon av kurver===
[[Fil:Lemniskate hyperbel.svg|right|thumb|300px|En symmetrisk [[hyperbel]] med sentrum i origo transformeres til en [[lemniskate]]. Deler av kurvene med samme farge går over i hverandre.]]

En generell [[kurve]] kan angis på den implisitte formen ''f''(''x,y'') = 0. Under sirkelinversjonen (''x,y'') &rarr; (''X,Y'') vil ligningen dermed fremstille en ny kurve.

Som et eksempel kan man betrakte den symmetriske [[hyperbel]]en ''x''<sup>&thinsp;2</sup> - ''y''<sup>&thinsp;2</sup> = ''s''<sup>&thinsp;2</sup> som skjærer ''x''-aksen i punktene &plusmn;''s''. Ved inversjon i [[enhetssirkel]]en går den over til 

: <math> X^2 - Y^2 = s^2(X^2 + Y^2)^2 </math>

Dette fremstiller en [[lemniskate]] som skjærer ''x''-aksen i punktene &plusmn;1/''s''.

[[Fil:Inverse Curves Parabola Cardioid.svg|left|thumb|210px|Inversjon av [[parabel]]en i en sirkel i dens brennpunkt gir en [[kardioide]].]]

[[Parabel]]en  ''y''<sup>&thinsp;2</sup>  =  4''a''(''x'' + ''a'') har sitt brennpunkt i origo. Den skjærer ''x''-aksen i punktet (-''a'',0) og og ''y''-aksen i punktene (0,&plusmn;2''a''). 
Når denne kurven inverteres i en sirkel med sentrum i origo og med radius {{nowrap|''r'' {{=}} 2''a''}}, tar dens ligning i de nye koordinatene formen

: <math> 4a^2Y^2 = (X^2 + Y^2)^2 + 4aX(X^2 + Y^2) </math>

Den beskriver en [[kardioide]] med spiss i origo og skjærer ''x''-aksen i punktet (-4''a'',0).

Ved å uttrykke parabelen i [[polarkoordinatsystem|polarkoordinater]] (''r,&theta;'') med sentrum i dens brennpunkt, blir denne transformasjonen bedre klarlagt. Ligningen for parabelen er da <math> r = 2a/(1 - \cos\theta) </math>. Inversjon i sirkelen {{nowrap|''r'' {{=}} 2''a''}} gir dermed en ny, polar koordinat <math> r \rightarrow R = (2a)^2/r </math> som ganske enkelt blir

: <math> R = 2a(1 - \cos\theta) </math>

Dette er ligningen for kardioiden i polarkoordinater.

To påfølgende inversjoner av et punkt fører tilbake til det samme punktet. Det betyr derfor at den inverse kurven til en lemniskate er en hyperbel på samme måte som at den inverse av en kardioide er en parabel.

===Punkt i det uendelige===

Fra definisjonen av sirkelinversjon vil hvert punkt ''P'' utenom origo ''O'' med koordinatene (0,0) transformeres entydig til et nytt punkt ''P'&thinsp;''. For at transformasjonen skal være gyldig for alle punkt, er det mulig å utvide det euklidske planet med et nytt punkt i uendelig (<math> \infty</math>) avstand fra origo. Dette kan kalles ''P''<sub>&infin;</sub> og kan tas med i den analytiske beskrivelsen ved regnereglene <math> 1/\infty = 0 </math> og <math> 1/0 = \infty</math>.

Med denne utvidelsen har det euklidske planet gått over til å ble et '''inversivt plan'''. I motsetning til det [[projektivt plan|projektive planet]] som inneholder en linje med punkt i det uendelige, har dette planet kun ett slikt punkt. Man kan forstille seg det euklidske planet som veldig stort, men endelig. Hvis nå omkretsen av dette planet blir «sydd» sammen på et slikt vis at det blir en lukket flate,  vil det kan det være et mentalt bilde av det inversive planet. Punktet ''P''<sub>&infin;</sub> tilsvarer projeksjonspunktet i en [[stereografisk projeksjon]] av en  [[kule|kuleflate]] på et euklidsk plan.<ref name = CG/>

I det inversive planet kan nå en rett linje sies å være en sirkel som har uendelig stor radius og derfor går gjennom ''P''<sub>&infin;</sub>. To sirkler som tangerer hverandre i ''O'', transformeres til parallelle linjer som nå kan betegnes som sirkler som tangerer hverandre i ''P''<sub>&infin;</sub>. Alle egenskapene til en sirkelinversjon kan da sammenfattes i den ene setningen at den transformerer sirkler over i sirkler. Den definerer derfor det som ofte blir kalt for en ''sirkelgeometri''.