Redigerer Sirkel (avsnitt)

=== Parameterformer ===

[[Fil:Weierstrass substitution.png|thumb|right|300px|Man kan benytte den halve vinkel som parameter {{nowrap|''t'' {{=}} tan(''&phi;/2''&thinsp;)}} i beskrivelsen av sirkelen.]]
For en sirkel med sentrum i [[origo]] kan man bruk vinkelen ''&phi;'' som radius danner med ''x''-aksen, som en parameter for hvert punkt (''x,y'') som ligger på sirkelen. Setter man radius ''r = 1'' og bruker de vanlige [[trigonometriske funksjoner|trigonometriske funksjonene]], gir derfor {{nowrap|''x'' {{=}} cos''&phi;''}} og {{nowrap|''y'' {{=}} sin''&phi;''}} en [[parameterfremstilling]] av sirkelen. Parameteren ''&phi;'' varierer fra 0 til ''2&pi;&thinsp;'' når man går rundt sirkelen.

En annen parametrisering finner man ved å trekke en rett linje fra punktet (-1,0) til (''x,y'') på sirkelen. Den skjærer ''y''-aksen i punktet (0,''t''&thinsp;) hvor ''t&thinsp;'' kan betraktes som en ny parameter. Fra setningen om [[periferivinkel|periferivinkler]] vet vi at denne linjen danner vinkelen ''&phi;/2''&thinsp; med ''x''-aksen. Ved å bruke [[Pythagoras' læresetning]] ser man fra figuren at

: <math> \sin{\phi\over 2} = {t\over\sqrt{1 + t^2}}, \;\;\; \cos{\phi\over 2} = {1\over\sqrt{1 + t^2}},</math>

Benytter man nå de [[trigonometriske identiteter|trigonometriske relasjonene]] for sinus og cosinus uttrykt ved den halve vinkel, er

:<math>\begin{alignat}{2}  \sin\phi &= 2\sin{\phi\over 2}\cos{\phi\over 2} = {2t\over 1 + t^2}\\
               \cos\phi  &= \cos^2{\!\phi\over 2} - \sin^2{\!\phi\over 2} = {1 - t^2\over 1 + t^2} \\ 
\end{alignat}</math>

Dette gir en alternativ parametrisering av sirkelen uten bruk av trigonometriske funksjoner,

:<math>\begin{alignat}{2}
x &= a + R \frac{1-t^2}{1+t^2} \\
y &= b + R \frac{2t}{1+t^2}
\end{alignat}</math>

når man plasserer den med sentrum i (''a,b'') og med radius ''r = R''.