Redigerer Pol og polare (avsnitt)

==Generelt kjeglesnitt==

I [[analytisk geometri]] kan alle [[Kjeglesnitt#Kjeglesnitt som kvadratisk form|kjeglesnitt]] angis ved nullpunktene til en [[kvadratisk form]]. De er derfor generelt bestemt av ligningen

: <math> ax^2 +2bxy +cy^2 + 2dx +2ey + f = 0 </math>

hvor typen av kjeglesnitt er gitt ved den relative størrelsen til de seks parametrene i formen. 

Polaren til et punkt {{nowrap|''P'' {{=}} (''x''<sub>0</sub>,''y''<sub>0</sub>)}} kan igjen bli funnet fra skjæringspunktene den har med en rett linje som går gjennom dette punktet sammen med kravet om at punktet på polaren inngår i en harmonisk deling av det avskårne linjestykket. Den generelle ligningen for polaren blir dermed

: <math> axx_0 + b(xy_0 + yx_0) + cyy_0 + d(x + x_0) + e(y + y_0) + f = 0 </math>

Når punktet ''P'' ligger på kjeglesnittet, faller dets polare igjen sammen med [[Kjeglesnitt#Tangentlinjer|tangentlinjen]] i dette punktet.

===Homogene koordinater===
[[Fil:Raaklijnen uit een punt.svg|thumb|300px|Polaren til et punkt ''D'' går gjennom de to tangeringspunktene ''S'' og ''T'' på [[hyperbel]]en.]]

Kjeglesnitt fremstilt ved en slik kvadratisk form i koordinatene (''x,y'') befinner seg i det [[Affint rom|affine planet]]. Her eksisterer det parallelle linjer som formelt ikke skjærer hverandre i dette planet, men i det uendelige. Derfor vil det for kjeglesnittene også være enkelte punkt som ikke har en relatert polar. Omvendt vil det også finnes linjer som ikke har en relatert pol.

For å ta med disse spesielle tilfellene, kan affine planet utvides et et [[projektivt plan]] som inneholder punkt som ligger uendelig langt bort samt en linje i det uendelige fjerne. Ligningen for kjeglesnittet i dette planet kan finnes ved å erstatte de to affine koordinatene (''x,y'') med de tre [[Projektivt plan#Homogene koordinater|homogene koordinatene]] (''x,y,z'') ved substititusjonen {{nowrap|''x'' &rarr; ''x''/''z''}} {{nowrap|''y'' &rarr; ''y''/''z''}}. Det gir den homogene, kvadratiske formen

: <math> ax^2 +2bxy +cy^2 + 2dxz +2eyz + f z^2 = 0 </math>

Punkter i det uendelige er nå formelt gitt ved ''z'' = 0, mens de som ligger i det endelige, affine planet kan velges å ha {{nowrap| ''z'' {{=}} 1}} eller en annen, konstant verdi forskjellig fra null.<ref name = Coxeter> H.S.M. Coxeter, ''Projective Geometry'', Springer-Verlag, New York (1987). ISBN 978-0-387-40623-7.</ref>

Denne homogene ligningen for kjeglesnittet kan skrives på en mer kompakt form ved å introdusere den symmetriske [[matrise]]n

: <math> C = \begin{bmatrix} a & b & d \\ b & c & e \\ d & e & f \end{bmatrix}</math>

med elementer ''C<sub>ij</sub>'' = ''C<sub>ji</sub>''. Et punkt ''X'' på kjeglesnitt med de homogene koordinatene {{nowrap|''X<sub>i</sub>'' {{=}} (''x,y,z'')}} er da bestemt ved en kvadratisk form som da kan skrives som {{nowrap|''C<sub>ij</sub>&thinsp;X<sub>i</sub>&thinsp;X<sub>j</sub>'' {{=}} 0}} når man benytter [[Einsteins summekonvensjon]] og summerer over par med like indekser..

===Polaritet===
En symmetrisk matrise ''C'' = (''C<sub>ij</sub>'') kalles en [[Projektivt plan#Korrelasjoner og polariteter|polaritet]] og relaterer hvert punkt ''P<sub>i</sub>'' = {{nowrap|(''x''<sub>0</sub>,''y''<sub>0</sub>,''z''<sub>0</sub>)}} i det projektive planet til en linje &ell;. Den er polaren til punktet ''P'' og kan angis ved tre homogene [[linjekoordinater|linjekoordinatene]] {{nowrap|&ell;<sub>''j''</sub> {{=}} (''u,v,w'')}}. De kan utledes fra sammenhengen {{nowrap|&ell;<sub>''i''</sub> {{=}} ''C<sub>ij</sub>&thinsp;P<sub>j</sub>''&thinsp;}}. Settes her inn komponentene til matrisen ''C'', finner man <math> u = ax_0 + by_0 + dz_0 </math>, <math> v = bx_0 + cy_0 + ez_0 </math> og <math> w = dx_0 + ey_0 + fz_0 </math>. Et vilkårlig punkt {{nowrap|''X<sub>i</sub>'' {{=}} (''x,y,z'')}} på polaren er da bestemt ved ligningen <math> \ell_i X_i = ux +vy + wz = 0 </math> i overensstemmelse med hva som ble funnet fra utledningen basert på to vilkårlige skjæringspunkt med en rett linje. 

Polaren til ''P'' oppfyller derfor den lineære ligningen

: <math> C_{ij}X_i P_j = 0 </math>

og sies å være [[Projektivt plan#Dualitet|dual]] til punktet ''P''. Selve kjeglesnittet er gitt som de punkt som ligger på sin egen polare og derfor er gitt ved ligningen {{nowrap|''C<sub>ij</sub>&thinsp;X<sub>i</sub>&thinsp;X<sub>j</sub>'' {{=}} 0}}. 

Fra den [[Matrise#Invers|inverse matrisen]] {{nowrap|''M'' {{=}} ''C''<sup> -1</sup>}} kan man likedan for hver linje {{nowrap|&ell;<sub>''j''</sub> {{=}} (''u,v,w'')}} finne det duale punktet med koordinater {{nowrap|''X<sub>i</sub>'' {{=}} ''M''<sub>''ij''</sub>&thinsp;&ell;<sub>''j''</sub>}}. Dette punktet er polen til linjen &ell; og dens polare er den opprinnelige linjen da matrisen ''M'' er den inverse til polariteten ''C''.<ref name = Coxeter/>

Som et enkelt eksempel kan man betrakte kjeglesnittet <math>x^2 + 2 x y - y^2  + 4 x - 6 = 0 </math> . Det ligger i den affine delen av det projektive planet med {{nowrap|''z'' {{=}} 1}}. Polaren til et punkt ''P'' = (1, 0) vil nå ha ligningen 

: <math>
\begin{bmatrix} x & y & 1 \end{bmatrix} 
\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\
                1 & -1 & 0 \\
                2 & 0 & -6 
\end{bmatrix} 
\begin{bmatrix} 1\\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} =  3 x + y - 4 = 0
</math>

som vil være i overensstemmelse med hva man kunne finne ved en [[Konstruksjon (geometri)|geometrisk konstruksjon]].