Redigerer Metrisk rom (avsnitt)

==Egenskaper==
=== Konvergens ===
En [[følge]] i et metrisk rom <math>S</math> er en mengde punkter <math>p_0, p_1, p_2, ...</math>, ofte skrevet som <math>\{p_n\}_{n \in \mathbb{N}}</math>, i dette rommet. Man sier at en følge ''konvergerer'' til en grense <math>p \in S</math> dersom man for enhver <math>N \in \mathbb{N}</math> kan finne en verdi <math>\epsilon</math> slik at 
:<math>d(p_n, p) \leq \epsilon</math>
for alle <math>n > N</math>.<ref>[[#rma|C. C. Pugh: ''Real Mathematical Analysis'', s. 60]]</ref>

=== Kontinuitet ===
En funksjon <math>f : S_1 \to S_2 </math>, der <math>S_1</math> og <math>S_2</math> er to metriske rom, sies å være kontinuerlig dersom den oppfyller [[epsilon-delta-bevis|epsilon-delta-betingelsen]]: Funksjonen <math>f</math> er kontinuerlig for enhver <math>\epsilon > 0</math>, der <math>\epsilon \in \mathbb{R}</math>, og enhver <math>y \in S_1</math>, finnes en <math>\delta</math> slik at dersom <math>x \in S_1</math> og <math>d(x, y) < \epsilon</math>, så er <math>d(f(x), f(y)) < \delta</math>.<ref>[[#rma|C. C. Pugh: ''Real Mathematical Analysis'', s. 65]]</ref>

===Kompletthet===
{{utdypende|Komplett metrisk rom}}
Et metrisk rom ''V'' sies å være ''komplett'' dersom en hver [[Cauchyfølge]] konvergerer mot et element som også ligger i ''V''. Alle [[lukket mengde|lukkede mengder]] av komplette rom utgjør også i seg selv et komplett rom.<ref>[[#rma|C. C. Pugh: ''Real Mathematical Analysis'', s. 78]]</ref> 

Mengden av reelle tall <math>\mathbb{R}</math> er et eksempel på et komplett metrisk rom; det samme gjelder et generelt m-dimensjonalt euklidsk rom <math>\mathbb{R}</math>. Det er derimot ikke mengden av  [[rasjonale tall]] <math>\mathbb{Q}</math>, dvs tall som kan skrives som en brøk.  I <math>\mathbb{Q}</math> er det mulig å konstruere Cauchyfølger som konvergerer mot et grense som selv ikke er et rasjonalt tall.<ref>[[#ts|G. Buskes, A. van Rooij: ''Topological Spaces'', s. 119]]</ref>

===Kompakthet===
En undermengde ''A'' i et metrisk rom ''(V,d)'' er begrenset dersom det eksisterer et objekt ''x'' i ''A'' og en positiv konstant ''M'' slik at 
:<math>d(x,y) < M \ \ \forall y \in S </math><ref>{{MathWorld|title=Bounded Set|urlname=BoundedSet}}</ref>

Et delmengde ''A'' i et metrisk rom ''V'' sies å være ''kompakt'' dersom enhver [[følge]] i ''A'' har en konvergent [[delfølge]]. Enhver kompakt mengde er lukket og begrenset.<ref>[[#rma|C. C. Pugh: ''Real Mathematical Analysis'', s. 79]]</ref>