Redigerer Matrisemekanikk (avsnitt)

===Kvantedynamikk===

Ved hjelp av Hamilton-matrisen kan bevegelsesligningene skrives mer kompakt. For eksempel vil 

: <math> {d\over dt}x_{mn}(t) = i\omega_{mn} x_{mn}(t) </math>

og den tilsvarende ligningen for ''p<sub>mn</sub>''(''t''&thinsp;) ta formen

: <math> i\hbar {d\over dt} \hat{x} = [\hat{x} , \hat{H}], \; \; \;   i\hbar {d\over dt} \hat{p} = [\hat{p} , \hat{H}] </math>

Det er en konsekvens av sammenhengen  ''ħ&omega;<sub>mn</sub>'' = ''E<sub>m</sub>'' - ''E<sub>n</sub>&thinsp;'' til Einstein-Bohr mellom frekvenser og energidifferanser samt definisjonen 

: <math>  [\hat{a} , \hat{b}] = \hat{a} \hat{b} - \hat{b} \hat{a} </math>

av '''kommutatoren''' mellom to matriser.<ref name = Weinberg> S. Weinberg, ''Lectures on Quantum Mechanics'', Cambridge University Press, England (2013). ISBN 978-1-107-02872-2.</ref>

Slike kvantemekaniske ligninger involverer matriser som generelt ikke kommuterer med hverandre. Mange beregninger forenkles ved bruk av et par grunnregler for regning med kommutatorer. Fra definisjonen følger at 

: <math> [\hat{a},  \hat{b} +  \hat{c}] = [\hat{a}, \hat{b}] + [\hat{a}, \hat{c}] </math> og <math> [\hat{a}, \hat{b} \hat{c}] = [\hat{a}, \hat{b}] \hat{c} +  \hat{b}[\hat{a}, \hat{c}] </math>

Med bruk av den gitte formen til Hamilton-matrisen følger nå for impulsen,

: <math> \hat{p} = m {d\over dt} \hat{x} = {1\over 2i\hbar}[\hat{x}, \hat{p}^2] = {1\over 2i\hbar} \big([\hat{x}, \hat{p}] \hat{p} +   \hat{p}[\hat{x}, \hat{p}] \big) </math>

Denne ligningen er oppfylt ganske enkelt hvis kommutatoren 

: <math> [\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar </math>

er proporsjonal med [[Identitetsmatrise|enhetsmatrisen]] som man implisitt tenker seg på høyre side. Mulige ikke-diagonale ledd på venstre side er derfor null. I sitt opprinnelige arbeid hadde Heisenberg bare behøvd de diagonale elementene av kommutatoren.<ref name = Weinberg/>

For en partikkel som beveger seg i tre dimensjoner, vil komponentene til den klassiske posisjonsvektoren '''x'''(''t''&thinsp;) kvantemekanisk bli erstattet med tre matriser <math> \hat{x}_1(t),  \hat{x}_2(t),  \hat{x}_3(t)</math>. Sammen med de konjugerte impulsmatrisene <math> \hat{p}_1(t),  \hat{p}_2(t),  \hat{p}_3(t) </math> kan deres fundamentale kommutatorer uttrykkes ved

: <math>  [\hat{x}_i, \hat{p}_j] = i\hbar\delta_{ij} ,</math>

mens <math>  [\hat{x}_i, \hat{x}_j] =  [\hat{p}_i, \hat{p}_j] = 0 .</math> Born og Jordan utvidet denne beskrivelsen på samme måte til systemer med flere frihetsgrader og tok de første trinn mot en kvantisering av [[elektromagnetisk felt|elektromagnetiske felt]].<ref name = BJ> M. Born und P. Jordan, ''Zur Quantendynamik'', Zeit. Phys. '''34''', 858-888 (1925)   [http://www.psiquadrat.de/downloads/bornjordan1925.pdf PDF] </ref>