Redigerer Konform avbilding (avsnitt)

===Stereografisk projeksjon===
[[Fil:Stereoprojnegone.svg|thumb|240px|Stereografisk projeksjon ''P'' &rarr; ''P'&thinsp;'' av kuleflate med nordpol ''N'' som projeksjons-sentrum.]]
Den første kartprojeksjon ble ikke benyttet til å gi en avbildning av Jorden, men av [[himmelhvelving]]en. Fremgangsmåten ble beskrevet allerede av [[Klaudius Ptolemaios]] i hans verk ''Planisphaerium''. Navnet benyttes fremdeles i dag for en [[planisfære]] som er et kart over stjernehimmelen med koordinater. Den er en [[stereografisk projeksjon]] av en himmelhvelvingen på et plan med den spesielle egenskap at den er både konform og avbilder alle sirkler på sfæren som sirkler i planet.<ref name = Brummelen-1> G. van Brummelen, ''Heavenly Mathematics: The Forgotten Art of Spherical Trigonometry'', Princeton University Press, New Jersey (2013). ISBN 978-0-691-14892-2.</ref>

Både den [[gnomonisk projeksjon|gnomiske]] og den stereografiske projeksjonen av en kuleflate er [[sentralperspektiv|sentralprojeksjoner]] fra punkt på en diameter i kulen på et plan som står [[vinkelrett]] på diameteren. Mens den første benytter kulens sentrum som projeksjonspunkt, foretas den stereografiske projeksjonen fra en av [[geografisk pol|polene]] der diameteren møter kuleflaten. Projeksjonsplanet kan legges gjennom kulens sentrum eller som tangentplan i den motsatte polen. 

[[Fil:Stereographic projection SW.JPG|left|thumb|240px|Stereografisk kart av verden nord for 30°S.]]

Hvis man for eksempel vil avbilde områdene på den sydlige halvkule med minst forvrengning, er det naturlig å benytte [[Nordpolen]] som projeksjonspunkt og et projeksjonsplan som tangerer [[Sydpolen]]. Ved bruk av [[kulekoordinater]] (''&theta;'',''&phi;'') for et punkt ''P'' på overflaten, vil dette bli avbildet på et punkt ''P'&thinsp;'' med koordinater (''x,y'') i kartplanet  hvor {{nowrap|''x'' {{=}} ''r''&thinsp;cos''&phi;''}} og {{nowrap|''y'' {{=}} ''r''&thinsp;sin''&phi;''}}. Her er nå {{nowrap|''r'' {{=}} 2&thinsp;tan(''&theta;&thinsp;''/2)}} hvis man setter kulens radius {{nowrap|''R'' {{=}} 1}} og benytter loven om [[periferivinkel|periferivinkler]]. Derfor er  <math> d\theta =  \cos^2{\theta\over 2} dr</math> hvor 

: <math> \cos^2{\theta\over 2} = {1\over 1 + r^2/4}, \; \; \;  \sin\theta = {r\over 1 + r^2/4} </math>

Fra <math> r^2 = x^2 + y^2 </math>  følger <math> rdr = xdx + ydy </math>.  Videre betyr <math> \tan\phi = y/x </math>  at <math> r^2 d\phi = xdy - ydx </math> . Linjeelementet på kuleflaten <math> d\sigma^2 = d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2 </math> transformeres  dermed til

: <math> d\sigma^2 = {dr^2\over (1 + r^2/4)^2} + {r^2 d\phi^2\over (1 + r^2/4)^2} = {dx^2 + dy^2\over \big(1 + \textstyle\frac{1}{4}(x^2 + y^2)\big)^2} </math>

Denne delen av kuleflaten er derfor konformt ekvivalent med et euklidsk plan. [[Lengdegrad]]ene er radielle linjer ut fra polen, mens [[breddegrad]]ene er konsentriske sirkler om dette punktet. Hadde kartplanet istedet gått gjennom ekvator, ville det tilsvare forandringene ''x'' &rarr; 2''x'' og ''y'' &rarr; 2''y'' i metrikken. Hvis radius ''R'' til kulen hadde blitt tatt med, ville faktoren 1/4 i nevneren i stedet blitt 1/4''R''<sup>&thinsp;2</sup> hvor {{nowrap|''K'' {{=}} 1/''R''<sup>&thinsp;2</sup>}} er den [[Differensiell flategeometri#Hovedkrumninger|gaussiske krumningen]] til kuleflaten.