Redigerer Hydrogenatom (avsnitt)

===Halvklassisk finstruktur===
[[Fil:H-atom-5.jpg|thumb|400px|Finstruktur i laveste energinivå i H-atom angitt ved kvantetall (''n,k'') som resultat av Bohr-Sommerfeld-kvantisering. De <span style="color:red;">røde  pilene</span>  viser tillatte overganger &Delta;''k'' = &plusmn;1 som splitter H<sub>''&alpha;''</sub> - linjen, mens den <span style="color:blue;">blå pilen</span> viser overgangen som gir  Ly-alfa.]]

Generelt foregår ikke den relativistiske bevegelsen til elektronet i en sirkelbane, men i en ellipsebane hvor hovedaksen [[presesjon|presesserer]]. I tillegg til den angulære impulskompoenten ''p<sub>&phi;</sub>''&thinsp; har det også en radiell komponent ''p<sub>r</sub>''&thinsp; som må inngå i det [[Kovariant relativitetsteori#Relativistisk bevegelsesligning|kovariant uttrykket]] 

: <math> \mathbf{p}^2 c^2 + m_e^2c^4 = (E - V)^2 </math>

med den potensielle energien {{nowrap|''V'' {{=}} -''Ze''<sup>&thinsp;2</sup>/4''&pi;&thinsp;&epsilon;''<sub>0</sub>''r''&thinsp;}}. Det gir sammenhengen

: <math> p_r^2 + {p_\phi^2\over r^2} + m_e^2 c^2 = {1\over c^2}\Big(E + {Ze^2\over 4\pi\varepsilon_0 r}\Big)^2 </math>

hvor {{nowrap|''p<sub>&phi;</sub>'' {{=}} ''n<sub>&phi;</sub>''&thinsp;''ħ''&thinsp;}} etter kvantisering. Som i det ikke-relativistiske tilfellet kan {{nowrap|''p<sub>r</sub>''&thinsp;}} herav bestemmes og kvantiseres med et tilsvarende, radielt kvantetall  {{nowrap|''n<sub>r</sub>''&thinsp;}}. Integralet som dermed fremstår har igjen samme form som tidligere og gir det generelle resultatet

: <math>  E = {m_e c^2\over\sqrt{1 + \big(\alpha Z/\big[ n_r +  \sqrt{n_\phi^2 - \alpha^2 Z^2}\big] \big)^2}} </math>

for de kvantiserte energinivåene  i hydrogenatomet. Dette er Sommerfelds relativistiske formel som han fant i 1916. Her inngår ikke lenger de to kvantetallene kun i kombinasjonen {{nowrap|''n'' {{=}}  ''n<sub>&phi;</sub>'' +  ''n<sub>r</sub>''&thinsp;}} som definerer hovedkvantetallet, men hver for seg. Degenerasjonen mellom tilstandene som har samme verdi av dette, er dermed opphevet i denne relativistiske kvantiseringen. Innfører man igjen Bohrs notasjon ''k = n<sub>&phi;</sub>'' for det orbitale kvantetallet, vil derfor hver tilstand (''n,k'') ha en distinkt energi. Man sier at spektrumet til atomet har en '''finstruktur'''.<ref name = Sommerfeld/>

For de letteste atomene med ''&alpha;Z'' << 1 kan man approksimere uttrykket for energien med en rekkeutvikling i denne lille parameteren. Det gir

: <math> E = m_e c^2\left[1 - {1\over 2}\left({\alpha Z\over n}\right)^2 - {1\over 2}\left({\alpha Z\over n}\right)^4\left({n\over k} - {3\over 4}\right) + \cdots\right] </math>

Det andre leddet på høyre side er Bohrs resultat ''E<sub>n</sub>''&thinsp; for energinivåene, mens det neste leddet gir den relativistiske korreksjonen. Den kan skrives som

: <math> \Delta E_{n,k} = {Z^2\alpha^2\over n^2}\left({n\over k} - {3\over 4}\right)  E_n </math>

Sirkulære baner har ''k = n'' og derfor energier i overenstemmelse med hva som tidligere ble funnet.

Da kvadratet ''&alpha;''<sup>2</sup>&thinsp; av [[finstrukturkonstant]]en er av størrelsesorden 10<sup>-4</sup>, er effekten av denne finstrukturen veldig liten og avtar for høyere energinivå med større verdier av hovedkvantetallet. For hydrogenatomet med ''Z'' = 1 er differansen mellom den sirkulære og elliptiske banen på andre nivå {{nowrap|''n'' {{=}} 2&thinsp;}} gitt ved {{nowrap|&Delta;''E<sub>H</sub>'' {{=}} &Delta;''E''<sub>2,2</sub> - &Delta;''E''<sub>2,1</sub> {{=}} (''&alpha;''<sup>2</sup>/16)&thinsp;Ry}} som stemmer med den observerte splittelsen til H<sub>&alpha;</sub>-linjen når man ser bort fra den mindre finstrukturen på nivået  {{nowrap|''n'' {{=}} 3}}. 

For [[ion]]et He<sup>+</sup> er den tilsvarende oppsplittingen større da det har ''Z'' = 2. I tillegg er linjene skarpere da dette ionet er fire ganger tyngre. Nøyaktige målinger ved [[Friedrich Paschen]] ga igjen full overenstemmelse med Sommerfelds teoretiske resultatet.<ref name = Sommerfeld/>