Redigerer Harmonisk deling (avsnitt)

===Fullstendig firkant===
[[Fil:pappusharmonic.svg|thumb|right|300px|Bruk av en [[fullstendig firkant]] for konstruksjon av  punktene ''C'' og ''D&thinsp;'' harmonisk konjugert til ''A'' og ''B''.]]

Harmonisk deling kan også gjennomføres uten bruk av sirkler i [[euklidsk geometri]] eller parallelle linjer i [[affin geometri]], men kun ved bruk av en [[linjal]] til konstruksjon av rette linjer. Den er basert på spesielle egenskaper ved det som kalles en [[fullstendig firkant]] og har en viktig rolle i [[projektiv geometri]].<ref name = Faulkner/>

Oppgaven er å finne et nytt punkt ''C'' på en linje gjennom to gitte punkt ''A'' og ''B'' som er harmonisk konjugert med et tredje punkt ''D'' relativt til de to andre, gitte punktene. Man velger da et vilkårlig punkt ''L'' utenfor linjen gjennom  ''A'' og ''B''. Etter å ha trukket linjene ''LB'' og ''LD'' trekkes en linje gjennom ''A'' som skjærer disse to linjene i ''K'' og ''N''. En ny linje gjennom punktene ''B'' og ''K'' skjærer linjen ''LA'' i et fjerde punkt ''M''. Dermed er den fullstendige firkanten ''KLMN'' konstruert. Hvis man nå forlenger dens diagonal ''MN&thinsp;'' til den skjærer den gitte linjen i ''C'', er dette det søkte punktet. Samme konstruksjon kan benyttes hvis punktet ''C'' utenfor ''A'' og ''B'' er gitt og man skal finne det konjugerte punktet ''D''.

Ved bruk av [[Projektivt plan#Homogene koordinater|homogene koordinater]] på linjen gjennom ''A'' og ''B'', kan det gitt punktet ''D'' skrives på den kompakte formen {{nowrap|''D'' {{=}} ''A'' + ''&lambda;B''&thinsp;}} hvor ''&lambda;&thinsp;'' er en slik koordinat. På samme vis kan man skrive at {{nowrap|''K'' {{=}} ''D'' + ''&mu;L''}} da ''K'' ligger på linjen ''LD''. Derfor er {{nowrap|''K'' {{=}} ''A'' + ''&lambda;B'' +  ''&mu;L''}}. Denne sammenhengen betyr at {{nowrap|''K'' - ''A''}} = {{nowrap|''&lambda;B'' +  ''&mu;L'' {{=}} ''N''&thinsp;}} da dette punktet ''N'' er definert ved skjæringspunktet mellom linjene ''AK'' og ''LB''. Alternativt følger at {{nowrap|''K'' - ''&lambda;B''}} = {{nowrap|''A'' +  ''&mu;L'' {{=}} ''M''&thinsp;}} da punktet ''M&thinsp;'' er skjæringspunktet mellom linjene ''BK'' og ''LA''.

Da det søkte punktet ''C'' ligger på linjen mellom ''M'' og ''N'', ser man fra {{nowrap|''M'' - ''N'' {{=}} ''A'' - ''&lambda;B''&thinsp;}} at det harmonisk konjugerte punktet til {{nowrap|''D'' {{=}} ''A'' + ''&lambda;B''&thinsp;}} er gitt som {{nowrap|''C'' {{=}} ''A'' - ''&lambda;B''&thinsp;}} da det også ligger på linjen mellom ''A'' og ''B'',