Redigerer Hamilton-operator (avsnitt)

===Kvantisering===
Fourier-komponenten til den konjugerte feltimpulsen blir nå

: <math> \Pi_\mathbf{k} = {\partial L\over\partial\dot{\phi}_\mathbf{k}} = \dot{\phi}_\mathbf{k}^* = \dot{\phi}_{-\mathbf{k}} </math>

Når disse komponentene blir kvantemekaniske operatorer, tar den kanoniske kommutatoren den enklere formen

: <math> [\hat{\phi}_\mathbf{k}, \hat{\Pi}_{\mathbf{k}'}] = i\hbar\delta_{\mathbf{k}\mathbf{k}'} </math>

Den kan gjøres mer anvendelig ved å innføre [[Stigeoperator|kreasjons- og annhilasjonsoperatorer]] ved å definere dem ved

: <math> \hat{\phi}_\mathbf{k} = \sqrt{\hbar\over 2\omega_\mathbf{k}}\left(\hat{a}_\mathbf{k} +  \hat{a}_{-\mathbf{k}}^\dagger \right) </math>
: <math> \hat{\Pi}_\mathbf{k} = i\sqrt{\hbar\omega_\mathbf{k}\over 2}\left(\hat{a}_\mathbf{k}^\dagger -  \hat{a}_{-\mathbf{k}} \right) </math>

når de oppfyller den fundamentale kommutatoren

: <math> [\hat{a}_\mathbf{k}, \hat{a}_{\mathbf{k}'}^\dagger] = \delta_{\mathbf{k}\mathbf{k}'} </math>

Hamilton-operatoren til feltet er nå en sum over Hamilton-operatorene til hver harmonisk feltmode,<ref name = TDL/>

: <math> \hat{H} =  \sum_\mathbf{k} \hbar\omega_\mathbf{k} (\hat{a}_\mathbf{k}^\dagger \hat{a}_\mathbf{k} + 1/2) </math>

Den viser at et kvant med bølgetallet '''k''' har en energi som er

: <math> E_\mathbf{k} =  \hbar\omega_\mathbf{k} = \sqrt{\hbar^2 k^2c^2 + m^2c^4} </math>

Det er derfor en relativistisk partikkel med impuls '''p''' = ''ħ''&thinsp;'''k''' og masse ''m''.

Da [[Kvantisert harmonisk oscillator#Nullpunktsenergi|nullpunktsenergien]] til hver mode av feltet er positiv, betyr denne Hamilton-operatoren at også det tomme rom ser ut til å ha en uendelig stor energi. Det kan betraktes som et problem med denne kvantiseringen. Men likevel kan denne konsekvensen under bestemte forhold påvises eksperimentelt og omtales da som en [[Casimir-effekt]] etter oppdageren.<ref name = Milton> K.A. Milton, ''The Casimir Effect: Physical Manifestations of Zero-point Energy'', World Scientific, Singapore (2001). ISBN 978-981-02-4397-5.</ref>

Ved bruk av Hamilton-operatoren kan nå kvantefeltoperatoren beregnes i [[Kvantemekanikk#Tidsutvikling og Heisenberg-bilde|Heisenberg-bildet]] ved et vilkårlig tidspunkt med resultatet

: <math> \begin{align} & \hat{\phi}(\mathbf{x},t) = e^{i\hat{H}t/\hbar} \hat{\phi}(\mathbf{x}, 0)\, e^{-i\hat{H}t/\hbar} \\ &= c \sum_\mathbf{k} \sqrt{1\over 2\hbar\omega_\mathbf{k} V}\left(\hat{a}_\mathbf{k} e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x} - \omega_\mathbf{k} t)}  + \hat{a}_\mathbf{k}^\dagger e^{-i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x} - \omega_\mathbf{k} t)} \right)\end{align} </math>

Det uttrykker matematisk den fundamentale [[bølge–partikkel-dualitet]] som er det essensielle innhold av alle kvantefeltteorier. Vanligvis benytter man [[Måleenhet#Naturlige enheter|naturlige enheter]] med {{nowrap|''ħ'' {{=}} ''c''}} = 1 i denne beskrivelsen slik at de matematiske uttrykkene blir enklere.<ref name = Gross/>