Redigerer Feynmans veiintegral (avsnitt)

==Noen eksempel==

Veiintegralet til Feynman kan utledes fra vanlig kvantemekanikk, men er mer generelt da det kan benyttes i sammenhenger hvor man ikke har noen Hamilton-funksjon. Derimot kan det skjelden eksakt beregnes slik at bare approksimative eller numeriske verdier vil finnes. Mange ganger har dets største fordel vist seg å være i forbindelse med mer formelle og anskuelige betraktninger rundt kvantemekanikkens fundamentale egenskaper.<ref name = QED> R.P. Feynman, ''QED: The strange Theory of Light and Matter'', Penguin Books, London (1985). ISBN 0-14-012505-1. </ref>

Når Lagrange-funksjonen kun inneholder kvadratiske ledd som

: <math> L  =  a(t) \dot{q}^2 + b(t) q\dot{q} + c(t) q^2  + d(t) \dot{q} + e(t) q + f(t)  , </math>

kan veiintegralet  langt på vei utføres da det isåfall kun gir opphav til [[Gauss-integral|gaussiske integral]]. Resultatet kan skrives som

: <math> K(q_b,t_b ; q_a,t_a) = F(t_b, t_a) \, e^{iS_{cl}[q]/\hbar} </math>

hvor funksjonen ''F&thinsp;'' ikke avhenger av ytterpunktene ''q<sub>a</sub>&thinsp;'' og ''q<sub>b</sub>''. De inngår derimot i den klassiske virkningen

: <math> S_{cl}[q] = \int_{t_a}^{t_b} \! dt L(q_{cl},\dot{q}_{cl}) </math>

hvor den spesielle veien ''q<sub>cl</sub>''(''t''&thinsp;) er den klassiske bevegelsen til partikkelen. Den er en løsning av [[Lagrange-mekanikk|Euler-Lagrange-ligningen]] for den gitte Lagrange-funksjonen. Når de forskjellige koeffisientene i denne er uavhengige av tiden, vil funksjonen ''F&thinsp;'' bare avhenge av tidsdifferansen {{nowrap|''t<sub>b</sub>'' - ''t<sub>a</sub>&thinsp;''}} fordi partikkelen da beveger seg under konstante forhold.<ref name = FH/>

===Harmonisk oscillator===

Bevegelsen til en [[kvantisert harmonisk oscillator]] er av grunnleggende betydning og kan forholdsvis enkelt utledes  i vanlig kvantemekanikk.<ref name = Shankar/> Fullt så enkelt er det ikke ved bruk av veiintegral. Oscillatoren befinner seg i potensialet {{nowrap|''V'' {{=}} (1/2)''m&omega;''<sup>2</sup>''q''<sup>2</sup>}} som er kvadratisk i utslaget ''q''. Den klassiske bevegelsen kan lett finnes og er gitt ved veien 

: <math> q_{cl}(t) = q_a {\sin\omega(t_b - t)\over \sin\omega(t_b - t_a)}  + q_b {\sin\omega(t - t_a)\over \sin\omega(t_b - t_a)} </math>

som oppfyller grensebetingelsene ved tidspunktene ''t<sub>a</sub>&thinsp;'' og ''t<sub>b</sub>''. Herav finnes den klassiske virkningen ved direkte integrasjon,

: <math> S_{cl}[q] =  {m\omega\over 2\sin\omega(t_b - t_a)}\big[(q_a^2 + q_b^2)\cos\omega(t_b - t_a) - 2q_a q_b \big] </math>

Prefaktoren ''F&thinsp;'' i propagatoren kan nå beregnes fra fluktuasjonene rundt denne løsningen  og blir

: <math> F(t_b, t_a) = \left({m\omega\over 2\pi i\hbar\sin\omega(t_b - t_a)} \right)^{1/2} </math>

Dette er overensstemmelse med resultatet for en fri partikkel som finnes i grensen ''&omega;'' &rarr; 0 der potensialet blir null.<ref name = Abers> E.S. Abers, ''Quantum Mechanics'', Pearson Education, New Jersey (2004). ISBN 0-13-146100-1.</ref>

===Partikler i tre dimensjoner===

Posisjonen til en partikkel som beveger seg i tre dimensjoner, kan angis ved tre [[Kartesisk koordinatsystem|kartesiske koordinater]] {{nowrap|'''x''' {{=}} (''x, y, z'')}}. Hver vei i dette rommet utgjør da en [[kurve]] {{nowrap|'''x''' {{=}} '''x'''(''t'')}}. For en ikke-relativistisk bevegelse med [[potensiell energi]] {{nowrap|''V'' {{=}} ''V''('''x''',''t'')}} fra  punktet {{nowrap|''a'' {{=}} ('''x'''<sub>''a''</sub/>, ''t''<sub>''a''</sub/>)}} til {{nowrap|''b'' {{=}} ('''x'''<sub>''b''</sub/>, ''t''<sub>''b''</sub/>)}}, kan veiintegralet for propagatoren skrives som

: <math> K(\mathbf{x}_b,t_b;\mathbf{x}_a,t_a) = \int_{\mathbf{x}_a}^{\mathbf{x}_b} \! D\mathbf{x}\, \exp\Big({i\over\hbar} \int_{t_a}^{t_b} \! dt \,\Big[ {1\over 2}m\dot{\mathbf{x}}^2 - V(\mathbf{x},t)\Big] \Big) </math>

Det har samme form som et produkt av tre éndimensjonale integral. Integrasjonsmålet i det diskrete tilfellet der tidsintervallet kan splittes opp som {{nowrap|''t<sub>b</sub>'' -  ''t<sub>a</sub>&thinsp;'' {{=}} ''N&epsilon;,''}} blir da

: <math>   D\mathbf{x} = A^{3N} d^3x_1  d^3x_2 \cdots d^3x_{N-1} </math>

hvor faktoren ''A&thinsp;'' er den samme som tidligere. Mens beregninger i vanlig kvantemekanikk vanligvis gjennomføres for potensial ''V&thinsp;'' som er uavhengige av tiden, er dette ikke noen begrensing i denne formuleringen.

Denne propagatoren er også en [[Greens funksjon|Green-funksjon]] for den tilsvarende Schrödinger-ligningen og oppfyller derfor den [[Partiell differensialligning|partielle differensialligningen]]

: <math> \left(i\hbar {\partial\over\partial t_b} - \hat{H}_b\right)K(\mathbf{x}_b,t_b;\mathbf{x}_a,t_a) =  i\hbar\, \delta(t_b - t_a)\delta(\mathbf{x}_b - \mathbf{x}_a) </math>

For en fri partikkel med Hamilton-operator <math> \hat{H}_0 = \hat\mathbf{p}^2/2m </math> blir nå propagatoren

: <math>  K_0(b;a)  = \left({m\over 2\pi i\hbar(t_b - t_a)}\right)^{3/2} e^{im(\mathbf{x}_b - \mathbf{x}_a)^2/2\hbar(t_b - t_a)} </math>.

for alle tidspunkt  {{nowrap|''t<sub>b</sub>''  > ''t<sub>&thinsp;a</sub>''.}}. Det følger fra veiintegralet, men kan også utledes i dette tilfelle direkte fra [[Propagator#Noen egenskaper|egenfunksjonene]] til Hamilton-operatoren.<ref name = Abers/>

===Perturbasjonsteori===

For et vilkårlig potensial ''V''(''x'') kan ikke veiintegralet utføres eksakt. Men når det kan betraktes som tilstrekkelig svakt sammenlignet med den kinetiske energien, kan man gjøre bruk av at det ikke involverer operatorer, men vanlige funksjoner som kommuterer med hverandre.  Det er én av fordelene med Feynmans formulering av kvantemekanikken. Da kan den delen av eksponentialfunksjonen som inneholder potensialet, utvikles i en [[Taylor-rekke]] som inneholder dette i stadig høyere potenser. Dermed kan den vekselvirkende propagatoren splittes opp i summen

: <math> K(b;a) = K_0(b;a) + K_1(b;a) + K_2(b;a) + \cdots </math>

hvor ''K''(''b; a'') er den frie propagatoren. Til første orden i potensialet får denne en korreksjon som nå kan skrives på den kompakte måten

: <math> K_1(b;a) = \Big(-{i\over\hbar} \Big) \int_{-\infty}^\infty\! d^4x_1 K_0(b;x_1)V(x_1)K_0(x_1;a) </math>

når man benytter notasjonen ''d''<sup>4</sup>''x'' = ''d''<sup>3</sup>''x&thinsp;dt&thinsp;''. Denne første korreksjonen kan tolkes som at partikkelen starter i punktet ''a&thinsp;'' hvorfra den beveger seg fritt til punktet ''x''<sub>1</sub> hvor den vekselvirker med potensialet. Derfra beveger den seg så fritt igjen til sluttpunktet ''b''. Til neste orden i denne rekkeutviklingen finner man på samme måte korreksjonen

: <math> K_2(b;a) = \Big(-{i\over\hbar}\Big)^2 \int_{-\infty}^\infty\! d^4x_2 \int_{-\infty}^\infty\! d^4x_1 K_0(b;x_2)V(x_2)K_0(x_2;x_1) V(x_1) K_0(x_1;a) </math>

Den involverer på tilsvarende vis to vekselvirkninger med potensialet. Påfølgende ledd i rekkeutviklingen kan nå lett finnes. Hvert av dem kan illustreres
med et [[Feynman-diagram]] som i dette tilfellet er en brukket linje mellom punktene ''a&thinsp;'' og ''b&thinsp;'' hvor hver brekk angir hvor potensialet virker.<ref name = FH/>

Når potensialet ''V''(''x'') er tilstrekkelig svakt, vil bare de første leddene i denne rekken være av betydning. Man har dermed et resultat for den fulle propagatoren som også kan beregnes i [[Propagator#Perturbasjonsteori|perturbasjonsteori]]. Rekkeutviklingen tilsvarer [[Vekselvirkningsbildet#Born-serie|Born-approksimasjonen]] som benyttes for [[Spredningstverrsnitt#Born-approksimasjon|spredning]] av elementærpartikler.

Propagatorer for [[Propagator#Relativistiske partikler|relativistiske partikler]] kan også defineres. Men de kan ikke uten videre skrives som veiintegral. I motsetning til den ikke-relativistiske propagatoren beveger de partikler både fremover og bakover i tiden. Det skyldes at de tilsvarende bølgeligningene inneholder løsninger som beskriver   partikler med negativ energi. De tilsvarer [[antipartikkel|antipartikler]] som beveger seg fremover i tiden.<ref name = Schweber/>