Redigerer Elliptisk geometri (avsnitt)

==Elliptiske rom==

Selv om projektiv geometri kan benyttes til å etablere elliptisk geometri i rom med høyere dimensjoner enn to, kan det gjøres mer direkte innen mer moderne [[differensialgeometri]]. Elliptiske rom har konstant krumning og har derfor maksimal [[symmetrisk rom|symmetry]]. Det invariante linjeelementet kan da generelt skrives som

: <math>  ds^2 =  a^2\Big[d\mathbf{x}^2 + {(\mathbf{x}\cdot d\mathbf{x})^2\over 1 -  \mathbf{x}^2}\Big]  </math>

der ''a'' er en generalisert radius ''a''. Hvis rommet har ''n'' dimensjoner, er dette også antall komponenter til posisjonsvektoren '''x''' som tilhører et euklidsk rom '''E'''<sup>''n''</sup> med et standard [[indreprodukt]]. Med disse koordinatene eksisterer hele det elliptiske rommet innenfor den ''n''-dimensjonale kuleflaten {{nowrap|'''x'''<sup>&thinsp;2</sup> < 1}}. I andre koordinatsystem kan det se ganske annerledes ut.

I tre dimensjoner kan man benytte utvidete [[kulekoordinater]] (''&chi;,&theta;,&phi;'') med en ekstra, polar vinkel ''&chi;'' som varierer fra 0 til ''&pi;''&thinsp;/2 eller ''&pi;'' avhengig av om rommet er enkelt eller dobbeltelliptisk. Linjelementet tar da formen

: <math> ds^2 = a^2[d\chi^2 + \sin^2\!\chi(d\theta^2 + \sin^2\!\theta d\phi^2)] </math>

Når vinkelen 0 < ''&chi;'' &le; ''&pi;&thinsp;'', er dette metrikken for det dobbeltelliptiske rommet med tre dimensjoner. Vanligvis omtales dette som en ''hypersfære'' eller tredimensjonal kuleflate  '''S'''<sup>3</sup>. Den har et endelig volum 2''&pi;&thinsp;a''<sup>3</sup>. Går man ut fra et bestemt punkt og fortsetter hele tiden i samme retning, vil man komme tilbake til begynnelsespunktet etter å ha reist langs en lukket linje med lengde 2''&pi;&thinsp;a''. Det var metrikken til dette krumme rommet som [[Einstein]] brukte i sin første [[Generell relativitet#Kosmologisk konstant|kosmologiske modell]].<ref name = Weinberg>S. Weinberg, ''Gravitation and Cosmology'', John Wiley & Sons, New York (1972). ISBN 0-471-92567-5.</ref>

Det samme linjeelementet beskriver også et enkeltelliptisk rom når den polare vinkelen kun tar verdier i intervallet  0 < ''&chi;'' &le; ''&pi;&thinsp;''/2. Dette rommet har et halvert volum ''&pi;&thinsp;a''<sup>3</sup>, og en lukket rundreise ville være redusert med den samme faktor til ''&pi;&thinsp;a''. Hvis dette hadde dette vært en realistisk, kosmologisk modell, ville spørsmålet om hva slags elliptisk univers vi virkelig lever i, måtte avgjøres ved observasjoner over meget store avstander.