Redigerer Turbin (avsnitt)

=== Hovedligningen for turbiner ===
[[File:Turbine inlet guide vanes of Atar turbojet.jpg|thumb|Turbininnløp med ledeskovler for en turbojet til et fly|300x300pk]]
Klassiske metoder for turbindesign ble utviklet på midten av 1800-tallet. [[Vektor (matematikk)|Vektoranalyse]] ble utviklet som kunne beregne forholdet mellom fluidstrømmen og turbins form og rotasjon. Grafiske beregningsmetoder ble brukt i begynnelsen. Formler for grunnleggende dimensjonering av turbindeler er veletablert teknologi, og en effektiv maskin kan bli pålitelig konstruert for et hvilket som helst fluids strømningstilstand. Noen av beregningene er empirisk- eller «tommelfingerregel-formler», og andre er basert på [[klassisk mekanikk]]. Som med de fleste tekniske beregninger, er forenklinger mulige.

Hastighetstriangler kan brukes til å beregne den grunnleggende utførelse av et turbintrinn. Hastighetsvektoren til fluidet som går gjennom en turbinrotor kan dekomponeres i tre retninger, en radiell, en tangentiell og en aksiell komponent. Disse tre retningene kan en ha for fluidets hele bevegelse over skovlen fra innløp til utløp. Av disse komponentene er det bare den tangentielle komponenten som gir et moment på rotoren og får den til å rotere. For eksempel i en [[francisturbin]] kommer vannet inn på løpehjulet radielt og farer ut aksielt, dette gir både tangentielle, radielle og aksielle krefter. De andre kreftene enn de tangentielle må tas opp av lagrene til akslingen. Denne tangentielle hastighetsvektoren er altså av interesse og denne blir i den følgende utledningen dekomponert i to komponenter.

[[File:Euler-turbinaegyenlethez.svg|thumb|500px|Skisse som viser skovler (de buede strekene fra senter til periferi) med hastighetstriangler for en pumpe (a) og en turbin (b). Indeksene 1 og 2 indikerer henholdsvis innløp og utløp av fluidet og på samme måte er r<sub>1</sub> radius ved innløp og r<sub>2</sub> radius ved utløp. <math> \omega </math> er vinkelhastigheten [rad/s] og pilen viser rotasjonsretningen. Videre indikerer ''u'' periferihastigheten, ''w'' er relativ hastighet og ''c'' er absolutt hastighet. Om en observatør står på et rotorblad vil han oppfatte at fluidet har en hastighet i forhold til rotoren, nemlig den relative hastigheten w. En observatør som står utenfor rotoren vil oppfatte fluidets absolutte hastigheten c. Forholdet mellom disse hastighetene er w = c - u.]]

[[Image:Sanxia Runner04 300.jpg|thumb|[[De tre kløfters demning]]: Løpehjulet til en francisturbin. Tegningen over kan for eksempel være en stilisert fremstilling av et slikt løpehjul.|300x300pk]]

Fluidet strømmer ut fra de stasjonære turbindysene (ledeskovler) og inn i rotoren med en ''relativ hastighet'' ''w<sub>1</sub>''. Rotoren roterer med ''periferihastighet'' ''u'', ''u''<sub>1</sub> ved inngangen og ''u''<sub>2</sub> ved utgangen. I forhold til rotoren er som nevnt relativ hastighet for fluidet ved inngangen til rotordelen ''w''<sub>1</sub>, men fluidets hastighet kan dekomponeres til hastighetsvektoren ''c''<sub>1</sub> som gjelder i absolutt referanse (for en observatør som står i ro utenfor). Fluidet dreier rotoren og ved utgangen vil hastigheten, i forhold til rotoren, være ''w''<sub>2</sub>. I absolutte referanse er utgangshastighet ved rotoren ''c''<sub>2</sub>. Hastighetstrekanter kan konstrueres ved hjelp av disse ulike hastighetsvektorene og er vist i figuren.

Forutsett at i et vilkårlig punkt langs en av løpehjulets skovler kan en fluidmengde m betraktes. Denne beveger seg med en akselerasjon a (som indikerer både forandring av fart og retning). Ifølge Newtons andre lov er akselerasjon:

:<math> \ dF = m {dv \over dt} </math>

videre er kraften i rotasjonsretningen i punktet

:<math> dF = m d \bigg( {{c \cdot cos \alpha } \over t}\bigg) </math>

her er <math>c \cdot cos \alpha </math> lik den absolutte hastighetsprojeksjonen på rotorens tangent i dette punktet (linjen mellom pilspissen til innløpsvektorene c<sub>1</sub> og w<sub>1</sub> eller utløpsvektorene c<sub>2</sub> og w<sub>2</sub>). Ved kontinuerlig strømming er fluidmassen per sekund:

:<math>{ m\over t} = \rho Q </math>

der <math>\rho </math> er massetettheten [kg/m<sup>3</sup>] og Q er volumstrøm [m<sup>3</sup>/s]. Innsatt i uttrykket for dF:

:<math> d F = { \rho Q } d \big(c \cdot cos \alpha \big) </math>

Vridningsmomentet (kraft x arm) som virker på grunn av rotasjonen er:

:<math> d M = d (Fr) = \rho Q d (rc \cdot cos \alpha ) </math>

Ved integrasjon fra innløp til utløp fås det totale momentet for turbin i figur b fra 1 til 2 :

:<math> M = \rho Q \int\limits_{1}^{2} d (rc \cdot cos \alpha ) = \rho Q (r_1c_1 cos \alpha_1 - r_2c_2 cos \alpha_2) </math>

Effekten som utvikles er produktet av vridningsmomentet og turbinenes vinkelhastighet <math> \omega </math>:

:<math> P = \rho Q (\omega r_1c_1 cos \alpha_1 - \omega r_2c_2 cos \alpha_2) </math>

Fra tidligere definisjoner vil <math> r_1 \omega = u_2 </math> og <math> r_2 \omega = u_2 </math>. Videre kan en sette at <math> c_1 cos \alpha_1 = c_{1u} </math> og <math> c_2 cos \omega = c_{2u} </math>, og ved innsetting blir uttrykke:

:<math> P = \rho Q (u_1 c_{1u} - u_2 c_{2u}) </math>

Faktorene c<sub>1u</sub> og c<sub>2u</sub> er projeksjoner av hastighetsvektorene normalt på radius (som er momentarmene). Produktene av uc kalles for arbeidsproduktene. Denne ligningen kalles for ''Eulers turbinligning'' (eller pumpeligning).

Det er vanlig å se å se på arbeidet som turbinen får tilført per masseenhet av fluidet. Divideres Eulers turbinformel med <math> \rho \cdot Q </math> fås dette uttrykket:

:<math> {P \over \rho \cdot Q} = u_1 c_{1u} - u_2 c_{2u} </math>

Denne formelen gir et uttrykk for spesifikt skovlearbeid [Nm/kg].

En annen interessant form på ligningen kan uttrykke sammenheng mellom fallhøyde (trykkhøyde) og ''[[virkningsgrad]]''. Om det gjelder fallhøyde i et vannkraftverk er det snakk om ''effektiv fallhøyde'' ''H''<sub>f</sub>, altså fallhøyden for turbinen når ''rørfriksjonen'' er trukket fra. Den effektive fallhøyden som blir utnyttet av turbinen er produktet av virkningsgrad, effektiv fallhøyde og tyngdens akselerasjon. Venstre side av formelen over kan erstattes med dette, og uttrykket blir dermed slik:

:<math> H_f g \eta =  (u_1 c_{1u} - u_2 c_{2u}) </math>

Dette kalles for ''hovedligningen for en turbin''.

Disse formlene gjelder også for en damp eller gassturbin,  men i slike ''varmekraftmaskiner'' skjer det endringer av gassens temperatur, volum og trykk, slik at lovene fra [[termodynamikk]]en må tas med. Dette gjør beskrivelsen og formlene desto mer avanserte.