Redigerer Schrödinger-ligning (avsnitt)

==Endimensjonale eksempel==

Flere viktige, kvantemekaniske effekter kan illustreres ved å betrakte en partikkel som beveger seg i én dimensjon hvor den er påvirket av potensialet ''V''(''x''). En stasjonær løsning med energi ''E&thinsp;'' er da løsning av den endimensjonale Schrödinger-ligningen

: <math> \left[ -{\hbar^2\over 2m}{d^2\over dx^2} + V(x) \right] \psi(x) = E\psi(x) </math>

I klassisk mekanikk kan ikke den totale energien ''E&thinsp;'' være mindre en den [[potensiell energi|potensielle energien]] ''V''(''x''), men i kvantemekanikken er det ikke noe som den hindrer dette. Et punkt hvor ''E'' = ''V''(''x''<sub>0</sub>) kalles et klassisk «vendepunkt». Bølgefunksjonene ''&psi;''<sub>1</sub>(''x'') og ''&psi;''<sub>2</sub>(''x'') på hver side av dette punktet må ha samme verdi. I tillegg må også de deriverte av de to funksjonene være like store da differensialligningen er av andre orden. Dermed har man grensebetingelsene

: <math>\begin{align} \psi_1(x_0) &= \psi_2(x_0), \\ {d\psi_1\over dx}(x_0)  &= {d\psi_2\over dx}(x_0) \end{align} </math>

som må gjelde i vendepunktet ''x''<sub>0</sub>. Generelt må disse gjelde også i andre punkt hvor bølgefunksjonen skifter karakter.<ref name = Boas>M.L. Boas, ''Mathematical Methods in the Physical Sciences'', John Wiley & Sons, New York (1983). ISBN 0-471-04409-1.</ref>

===Potensialstepp===
[[Fil:Potencialovy skok.svg|thumb|280px|Illustrasjon av et ideelt potensialstepp. I virkeligheten må dette ha avrundete hjørner.]]
Hvis en klassisk partikkel beveger seg med en hastighet ''v''<sub>1</sub> inn i et potensial med en konstant verdi ''V''<sub>0</sub> < ''E'', vil den fortsette i samme retning med en redusert hastighet ''v''<sub>2</sub>. Hvis derimot ''V''<sub>0</sub>  > ''E'', vil den stoppe opp og så bevege seg tilbake med den samme hastigheten.

Kvantemekanisk kan denne situasjonen lettest beskrives ved å anta at potensialet har en plutselig forandring slik at det ser ut som et stepp eller trinn,

: <math>V(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ V_0, & x \ge 0 \end{cases}</math>

Til venstre for steppet har partikkelen en [[bevegelsesmengde|impuls]] {{nowrap|''p''<sub>1</sub> {{=}} ''mv''<sub>1</sub>}}  gitt ved at {{nowrap|''E'' {{=}}  ''p''<sub>1</sub><sup>2</sup>/2''m''.}} Løsningen av Schrödinger-ligningen i dette området har generelt formen

: <math> \psi_1(x) = A e^{ik_1x} + B e^{-ik_1x}</math>

hvor det første leddet representerer en innkommende, [[Bølge#Plane bølger|plan bølge]] med bølgetall {{nowrap|''k''<sub>1</sub>  {{=}} ''p''<sub>1</sub>/''ħ''}}. Det andre leddet beskriver den reflekterte bølgen. På høyre side av steppet når <math> E > V_0 </math> vil man kun ha en bølge <math>  \psi_2(x) = C\exp(ik_2x) </math> som beveger seg mot høyre med bølgetallet <math> k_2 = \sqrt{2m(E - V_0)}/\hbar </math> som er reelt i dette tilfellet.<ref name = Eisberg>R.M Eisberg, ''Fundamentals of Modern Physics'', John Wiley & Sons, New York (1961). </ref>

De to grensebetingelsene gir nå <math> A + B = C </math> sammen med <math> k_1(A - B) = k_2 C </math>. Herav finner man

: <math> B = {k_1 - k_2\over k_1 + k_2}A ,\;\;\; C =   {2k_1\over k_1 + k_2} A </math>

Fluksen av partikler til venstre ''x'' < 0 for steppet er gitt ved sannsynlighetsstrømmen

: <math> J_1 =  {\hbar\over 2im}\left(\psi_1^*{d\psi_1\over dx}  - \psi_1{d\psi_1^*\over dx} \right) = v_1(A^*\!A - B^*\!B) </math>

Men det første leddet representerer fluksen av innkommende partikler, gir det andre fluksen av reflekterte partikler. Forholdet mellom disse to er «refleksjonskoeffisienten»

: <math> R = {v_1B^*\!B\over v_1A^*\!A} = {(k_1 - k_2)^2\over (k_1 + k_2)^2} </math>

På samme måte er fluksen av partikler som beveger seg mot høyre ''x'' > 0 gitt ved sannsynlighetsstrømmen <math> J_2 = v_2C^*\!C </math> slik at «transmisjonskoeffisienten» er

: <math> T = {v_2C^*\!C\over v_1A^*\!A} = {k_2\over k_1} {(2k_1)^2\over  (k_1 + k_2)^2}  = {4k_1k_2 \over (k_1 + k_2)^2} </math>

Koeffisientene oppfyller <math> R + T = 1 </math> som uttrykker bevarelse av den totale sannsynligheten. En partikkel som beveger seg mot steppet, vil ikke splittes opp ved at noe av den reflekteres til venstre og resten fortsetter til høyre. Derimot har den sannsynligheten ''R&thinsp;'' for å reflekteres og ''T&thinsp;''  for å fortsette i samme retning. Da dette resultatet er uavhengig av Plancks konstant ''ħ&thinsp;'', kan det derfor synes å være i motstrid med klassisk mekanikk som sier at ingen partikler blir reflektert. Men for et realistisk potensialsstep med avrundete hjørner vil ikke dette problemet oppstå.<ref> D. Branson, ''The correspondence principle and scattering from potential steps'', American Journal of Physics '''47''' (12), 1101–1102 (1979).</ref>

I det motsatte tilfellet der <math> E < V_0 </math>  vil en klassisk partikkel ikke trenge inn i potensialet og alltid bli reflektert. Det følger også fra kvantemekanikken siden bølgetallet ''k''<sub>2</sub> = ''i&kappa;''<sub>2</sub> dette tilfellet blir rent imaginært med

: <math> \kappa_2 = {1\over\hbar} \sqrt{2m(V_0 - E)} </math>

Dermed blir <math> B^*\!B/A^*\!A = 1 </math> slik at refleksjonskoeffisienten <math> R = 1</math>. På høyre side er ikke sannsynlighetsbølgen lik null, men [[Eksponensialfunksjon|eksponensielt]] avtagende, <math> \psi_2(x) = C\exp(-\kappa_2x)</math>. Dette er en reell funksjon slik at sannsynlighetsstrømmen her blir <math> J_2 = 0 </math> og derfor <math> T = 0 </math>. Men sannsynlighetstettheten for å finne partikkelen i dette området er ikke null og proporsjonal med <math> |\psi_2(x)|^2 </math>. Hvis potensialsteppet hadde en endelig lengde, vil partikkelen derfor ha en viss sannsynlighet for å kunne komme ut på den andre siden. Det ville da være et eksempel på kvantemekanisk [[WKB-approksimasjon#Kvantetunnelering|tunnellering]].<ref name = Eisberg/>

Reflekson og transmisjon fra et potensialstepp har mange likhetspunkter med en klassisk lysbølge som beveger seg fra et medium med [[brytningsindeks]] ''n''<sub>1</sub> vinkelrett inn i et annet medium hvor denne er ''n''<sub>2</sub> og konstant.<ref name = Hecht> E. Hecht, ''Optics'', Addison-Wesley, Reading, Massachusetts (1998). ISBN 0-201-30425-2.</ref>

===Partikkel i kassepotensial===
[[Fil:Infinite potential well-en.svg|thumb|200px|Potensialet er null inni kassen og. uendelig stort utenfor.]]
Når partikkelen befinner seg i et konstant, negativt potensial som har en endelig utstrekning, sies den å befinne seg i en ''kasse'' eller «brønn». Schrödinger-ligningen har da stasjonære løsninger som beskriver partikkelen permanent lokalisert eller bunden til potensialet. Slike løsninger finnes bare for diskrete verdier av dens energi ''E'' som dermed blir [[kvantisering (fysikk)|kvantisert]].

Enklest er å betrakte en uendelig dyp brønn. Hvis man da måler energier i forhold til dens bunn, vil alle disse måtte være postive. Potensialet utenfor brønnen er da også positivt og uendelig stort. Bølgefunksjonene kan ikke trenge inn i dette slik at de må alle være null ved brønnens overflate som i dette endimensjonale tilfellet tilsvarer to punkt. Har brønnen utstrekning ''L'', og origo til ''x''-aksen er plassert i dens midtpunkt, må alle bølgefunksjonene være null i punktene {{nowrap|''x'' {{=}} &plusmn; ''L''/2}}.

[[Fil:particle in a box wavefunctions 2.svg|left|thumb|150px|De fire laveste egen-funksjonene i kassen.]]
Da dette brønnpotensialet er symmetrisk om origo ''x'' = 0, vil også bølgefunksjonene ha en tilsvarende symmetri. Det tilsvarer [[paritet (fysikk)|paritet]] i tre dimensjoner. For en partikkel med energi <math> E = \hbar^2k^2/2m </math> har bølgefunksjonen inni brønnen den generelle formen <math>  \psi(x) = A e^{ikx} + B e^{-ikx} </math>. Disse funksjonene er nå symmetriske eller antisymmetriske under ''x'' &rarr; -''x&thinsp;'' bare når ''B'' = &plusmn;''A''. Det tilsvarer løsninger <math> \psi_+ = C\cos kx </math> med positiv paritet eller <math> \psi_- = C\sin kx </math> med negativ paritet.<ref name = Eisberg/>

Grensebetinngelsene ''&psi;''(&plusmn; ''L''/2) = 0 gir nå de kvantiserte bølgetallene {{nowrap|''k<sub>n</sub>'' {{=}} ''n&pi;''&thinsp;/''L''}} hvor ''n&thinsp;'' er et [[oddetall]] for løsningene med positiv paritet og et [[partall]] for de som har negativ paritet. De kan sammenfattes som

: <math>\psi_n (x) = \begin{cases} C \cos (n\pi x/ L), \;\; n = 1,3,5 \ldots \\ C\sin (n\pi x/ L), \, \;\; n = 2,4,6 \ldots 
\end{cases}</math>

De tilsvarende egenverdiene for energien kan skrives som

: <math> E_n = {\hbar^2\pi^2\over 2mL^2}n^2 </math>

som gjelder for både ikke og odde verdier av [[kvantetall]]et ''n''.  Det er uendelig mange slike løsninger for dette tilfellet med en  uendelig dyp brønn.

Når partikkelen er i en kasse med endelig dybde ''V''<sub>0</sub> kan man gå frem på samme måte. Bølgefunksjonene inni kassen vil fremdeles være av formen <math> \psi_+ = C\cos kx </math> eller <math> \psi_- = C\sin kx </math>  der <math> k = \sqrt{2mE}/\hbar </math> avhengig av pariteten. Utenfor kassen vil de ikke lenger plutselig bli null, men falle av eksponensielt som <math> \exp(-\kappa x)</math> for ''x'' > ''L''/2 hvor denne gangen <math> \kappa = \sqrt{2m(V_0 - E)}/\hbar </math>. Da de deriverte av bølgefunksjonene må være kontinuerlige ved ''x'' = &plusmn; ''L''/2, gir dette kravet de to betingelsene

: <math> \begin{cases} \kappa = + k\tan(kL/2),  \;\; \text{positiv paritet}  \\ \kappa = - k\cot(kL/2), \;\; \text{negativ paritet}
\end{cases}</math>

for bestemmelse av mulige verdier for energien ''E''. Dette kan ikke lenger gjøres eksakt, men appproksimativt med numeriske metoder. Man finner på denne måten nå bare et endelig antall slike bundne løsninger. Grunntilstanden er den med lavest energi og har alltid positiv paritet.<ref name = Liboff> R.L. Liboff, ''Introductory Quantum Mechanics'', Pearson Education, New Jersey (2003). ISBN 0-8053-8714-5.</ref>

===Harmonisk oscillator===
[[Fil:Schr-harmonic.png|thumb|240px|Grafisk fremstilling av de laveste egen-funksjonene for en harmonisk oscillator.]]

Et uendelig dypt kassepotensial er ikke realistisk for en fysisk virkelig situasjon. Av større betydning har derimot potensialet for en [[harmonisk oscillator]],

: <math> V(x) = {1\over 2}kx^2 </math>

hvor ''k'' er en konstant. Klassisk vil en partikkel med masse ''m&thinsp;'' utføre [[svingning]]er med frekvens ''&omega;'' = &radic;(''k''/''m'').  Egenskapene til en [[kvantisert harmonisk oscillator]] kan finnes fra den stasjonære Schrödinger-ligningen som kan omformes til

: <math> {d^2\psi\over d\xi^2} = (\xi^2 - \mathcal{E})\psi </math>

ved å innføre en dimensjonsløs ''x''-koordinat 

: <math> \xi = \sqrt{m\omega\over\hbar} x \;\; \text{og energi} \;\;\; \mathcal{E} = {2E\over\hbar\omega}  </math>.

Oscillatorpotensialet er igjen symmetrisk om ''x'' = 0 slik at løsningene vil opptre med positiv eller negativ paritet. De kan i dette tilfellet  finnes eksakt for bestemte verdier <math> \mathcal{E} = 2n + 1 </math> av energiparameteren som tilsvarer egenverdiene

: <math> E_n = \hbar\omega \left(n + {1\over 2}\right), \; n = 0, 1,2, 3, \ldots  </math>

De tilsvarende egenfunksjonene kan uttrykkes ved klassiske [[Hermite-polynom]] eller kan skrives på den kompakte formen

: <math> \psi_n(x) = C_n e^{{\xi^2}/2} \left({d\over d\xi}\right)^n e^{-\xi^2} </math> 

hvor ''C<sub>n</sub>'' er en normeringskonstant. Pariteten til løsningene er gitt som (-1)<sup>''n''</sup> .

Energien til denne oscillatoren med «nullpunktsenergien» ''E''<sub>0</sub> = (1/2)''ħ&omega;'' ble først funnet av [[Werner Heisenberg|Heisenberg]] ved bruk av hans [[Matrisemekanikk#Harmonisk oscillator|matrisemekanikk]]. Denne [[Kvantisert harmonisk oscillator#Algebraisk metode|algebraiske formalismen]] gir fremdeles den enkleste og mest direkte fremgangsmåte til å bestemme både egenverdier og egenfunksjoner.<ref name = Liboff/>

Kvantisering av en harmonisk oscillator har mange anvendelser i [[teoretisk fysikk]]. Løsningen av det endimensjonale tilfellet for en svingende partikkel kan lett generaliseres. For eksempel varierer potensialet i en tredimensjonal oscillator proporsjonalt med ''r''<sup>&thinsp;2</sup> = ''x''<sup>&thinsp;2</sup> + ''y''<sup>&thinsp;2</sup> + ''z''<sup>&thinsp;2</sup>. Løsningen av den tilsvarende Schrödinger-ligningen vil da ha den faktoriserte formen

: <math> \psi(x,y,z) = \psi_{n_x}(x) \psi_{n_y}(y) \psi_{n_z}(z) </math>

hvor hver faktor er en egenfunksjon for den endimensjonale oscillatoren. De tilsvarende egenverdiene for energien til den tredimensjonale oscillatoren er derfor

: <math> E_{n_x,n_y,n_z} = \hbar\omega  \left(n_x + n_y + n_z + {3\over 2}\right)</math>

hvor hvert av kvantetallene ''n<sub>x</sub>'',''n<sub>y</sub>'' og ''n<sub>z</sub>'' tar verdiene 0, 1, 2 og så videre. De kan derfor skrives som (''n'' + 3/2)''ħ&omega;'' hvor hvert heltall ''n&thinsp;'' angir energinivåene. Bortsett fra grunntilstanden med ''n'' = 0 er alle disse '''degenererte''' da det finnes mer enn én kvantetilstand med samme energi. Av spesiell interesse er den  [[Kvantisert harmonisk oscillator#Todimensjonal oscillator|todimensjonale oscillatoren]] i denne sammenhengen.

Hver komponent av et klassisk [[felt (fysikk)|felt]] med en viss frekvens ''&omega;&thinsp;'' beskrives som en harmonisk oscillator. Når denne kvantiseres, vil hver eksitasjon med energi {{nowrap|''E'' {{=}} ''ħ&omega;''}} være et [[kvant]] med denne energien.  Kvantetallet ''n&thinsp;'' til oscillatoren angir da hvor mange kvant som har denne frekvensen.<ref name = Sakurai>J.J. Sakurai, ''Advanced Quantum Mechanics'', Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Massachusetts (1967).</ref>