Redigerer Potensiell energi (avsnitt)

== Gravitasjon ==
Potensiell energi som skyldes [[gravitasjon]]skraft er potensiell energi som et legeme har på grunn av sin masse og [[tyngdekraft]]en som påvirker det. Denne typen potensiell energi oppstår for eksempel når et legeme blir hevet i jordens tyngdefelt. Økningen av den potensielle energien til legemet er lik energien som må til for å heve det, eller lik energien som blir frigjort om legemet får falle tilbake til det opprinnelige nivået.<ref name = ergo-1/>

For eksempel kan en tenke seg en bok som er plassert på et bord. For å heve boken frå gulvet til bordet må en utføre et arbeid, noe som krever energi: Om boken blir løftet av en person så vil denne energien komme fra den kjemiske energien som personen har fått fra mat eller annen næring. Denne igjen har sitt opphav fra solenergi som opprettholder fotosyntesen i planter. Bokens potensielle energi kan bli frigjort om den faller ned fra bordet. Når boken faller blir den potensielle energien omgjort til [[kinetisk energi]], og når boken treffer gulvet blir den kinetiske energien igjen omgjort til [[varme]] og [[lyd]].

===Newtons tyngdelov===

[[Fil:Solar sys8.jpg|thumb|300px|Gravitasjonskraften holder planetene i lukkete baner rundt solen.]]

Gravitasjonskraften mellom to masser er beskrevet ved [[Newtons gravitasjonslov|Newtons tyngdelov]]. Den sier at kraften er proporsjonal med hver av massene og omvendt proporsjonal med kvadratet av avstanden mellom dem. Strengt tatt er dette bare en korrekt formulering når begge massene er «punktpartikler», det vil si at de ikke har noen utstrekning. Men allerede [[Newton]] viste at loven også gjelder for kuleformete masser når avstanden mellom dem regnes mellom deres [[tyngdepunkt]]. Hvis formen ikke er helt sfærisk, vil avvikene fra loven være svært små. I sin vanlige formulering benyttes den til å utlede [[Keplers lover]] for [[planet]]ene rundt [[Solen]] og beregning av mer kompliserte satellittbaner.

Tyngdeloven formuleres matematisk vanligvis ved å betrakte to slike masser ''m'' og ''M''  som har en gjensidig avstand gitt ved vektoren '''r'''. Gravitasjonskraften som massen ''M'' utøver på massen ''m'', er da gitt ved formelen

: <math> \mathbf{F} = -G{Mm\over r^2}\mathbf{e}_r </math>

hvor ''G'' er [[gravitasjonskonstanten]] og '''e'''<sub>''r''</sub> = '''r'''/''r'' er en enhetsvektor som peker fra ''M'' til ''m''. Minustegnet foran betyr at kraften til tiltrekkende, den trekker ''m'' mot ''M'' og peker derfor i retning motsatt til '''r'''. Like stor, men motsatt rettet virker også tyngdekraften på ''M'' forårsaket av påvirkningen fra ''m''.<ref name="Lien">J.R. Lien og G. Løvhøyden, ''Generell fysikk for universiteter og høyskoler, Bind 1'', Universitetsforlaget, Oslo (2001). ISBN 9788215000053.</ref>

Denne kraften gir nå massen ''m'' en potensiell energi. Ut fra definisjonen kan den beregnes ved å flytte ''m'' fra posisjonen '''r''' til en ny posisjon '''r'''<sub>0</sub> samtidig som ''M'' holdes i ro. Arbeidet som da utføres er

: <math> \Delta W = - \int_{\mathbf{r}}^{\mathbf{r}_0} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} </math>

og vil være lik forandringen i potensiell energi. I alminnelighet vil en vilkårlig forflytning ''d'''''r'''&thinsp; forgå som en kombinasjon av en forflytning retning gitt ved '''e'''<sub>''r''</sub> samt i en forflytning i en retning vinkelrett på denne. Men siden tyngdekraften ikke har noen komponent i denne retningen, vil den ikke bidra til integralet som gir arbeidet. Det vil derfor være uavhengig av veien som velges i integralet mellom  '''r''' og '''r'''<sub>0</sub> slik at tyngdekraften er konservativ. Her er det et direkte resultat av at den er rettet langs forbindelseslinjen mellom de to massene.

===Potensiell energi===
Den potensielle energien til ''m'' kan enkelt beregnes da man nå kan tenke seg at '''r'''<sub>0</sub> ligger i forlengelsen av vektoren '''r'''. Størrelsen til vektorene angir dermed avstanden mellom de to massene før og etter forflytningen. Nå er ''d''&thinsp;'''r''' = '''e'''<sub>''r''</sub>&thinsp;''dr'' slik at integralet forenkles til

: <math> \Delta W = U(r_0) - U(r) = GMm\int_r^{r_0} {dr\over r^2}  = - {GMm\over r_0} + {GMm\over r}</math>

Dette resultatet gjør det naturlig å kalle

: <math> U(r) = -  {GMm\over r}</math>

for den potensielle energien til massene når den defineres å være null hvis de er uendelig langt fra hverandre. Den er negativ siden massene tiltrekkes av hverandre og kan skrives som ''U''(''r'') = ''m&Phi;''(''r'') hvor

: <math> \Phi(r) = - {GM\over r} + \mbox{konst} </math>

er [[gravitasjonspotensial]]et som massen ''M'' forårsaker og som virker på ''m''. Konstanten i dette uttrykket avhenger av hva man definerer den potensielle energien i forhold til. Vanligvis settes den lik null som tilsvarer at to masser uendelig langt fra hverandre (''r'' &rarr; &infin;) har null potensiell energi.<ref name = Lien/>

Uttrykket for den potensielle energien til de to massene kan da alternativt skrives som

: <math> U(\mathbf{r} - \mathbf{R}) = - {GMm\over |\mathbf{r} - \mathbf{R}|} </math>
 
hvor '''r''' er posisjonsvektoren til massen ''m'' og '''R''' er posisjonsvektoren til ''M''. Den er bestemt av avstanden mellom dem som her skrives som |'''r''' - '''R'''|. Ved å ta [[gradient]]en av dette uttrykket med hensyn til disse to posisjonene, kommer man tilbake til tyngdekreftene som virker på hver av dem.

Hvis en tenker seg at to legemer i rommet blir holdt på plass og så sluppet løs slik at tyngdekreftene mellom dem drar dem mot hverandre, så vil summen av den kinetiske energien til de to legemene bli nøyaktig lik reduksjonen av den potensielle energien til systemet. Summen av den kinetiske energien som de to legemene får målt i deres felles [[massesenter]]system er lik den inverse verdien av forholdet mellom massene deres. I tilfelle der et lett legeme faller mot et stort og massiv legeme (slik som jorden), så blir så godt som all den potensielle energien i systemet overført til det lette legemet, og nesten ingenting til det store legemet.

=== Ved jordoverflaten===

Befinner massen ''m'' seg ved i en høyde ''z'' over jordoverflaten, vil dens avstand fra jordens tyngdepunkt være ''r = R + z&thinsp;'' hvor ''R'' nå er radius til jorden. Den potensielle energien til massen i denne høyden relativt til verdien på selve jordoverflaten er da

: <math>  \Delta U(z) = - {GMm\over R + z} + {GMm\over R} </math>

I vanlige situasjoner er høyden ''z'' << ''R''. Da kan man med stor nøyaktighet skrive at 1/(''R + z'') = 1/''R'' - ''z''/''R''<sup>2</sup>. Den potensielle energien kan derfor forenklet skrives som {{nowrap|''U''(''z'') {{=}} ''mgz''}} etter å ha innført ''g'' = ''GM/R''<sup>2</sup> som er [[tyngdeakselerasjonen]]. Da jordens radius er omtrent 6000&thinsp;km, kan dette forenklete uttrykket for den potensielle energien benyttes med en prosents nøyaktighet for høyder opp til 60&thinsp;km.