Redigerer Maupertuis’ virkningsprinsipp (avsnitt)

===Bevegelse som funksjon av tiden===

Som ved bruk av [[Fermats prinsipp]] for beregning av banen til en lystråle, vil Maupertuis' prinsipp i utgangspunktet kun gi ''formen'' til partikkelbanen og ikke hvor raskt partikkelen beveger seg langs denne.  Matematisk er disse to [[virkningsprinsipp]]ene ekvivalente hvor brytningsindeksen ''n&thinsp;'' til lyset tilsvarer hastigheten ''v&thinsp;'' til partikkelen gitt ved potensialet ''V'' gjennom relasjonen {{nowrap|''E {{=}} mv<sup>2</sup>/2 + V('''r''')''}}. Virkningen for en ikke-relativistisk partikkel er dermed gitt ved integralet

: <math> W =  \int_A^B\!ds \sqrt{2m (E - V)} </math>

Resultatet  av integrasjonen vil være en funksjon av energien ''E&thinsp;'' og posisjonene til de to ytterpunktene ''A'' og ''B''. Beregner man så den deriverte av denne funksjonen, finner man at

: <math>  {\partial W\over\partial E} =  \int_A^B\!{ds\over \sqrt{(2/m) (E - V)}}  =  \int_A^B\!{ds\over v} = \int_A^B\!dt </math>

hvor det siste integralet gir tiden ''t'' som partikkelen behøver fra ''A'' til ''B''. Denne ligningen gir nå en implisitt sammenheng mellom begynnelsesposisjonen ''A'', sluttposisjonen ''B''  og tidsforløpet ''t'' og er den samme som ville ha fulgt fra en direkte løsningen av den ekvivalente ligningen til Newton.