Redigerer Matrisemekanikk (avsnitt)

==Born og Jordan==

Tilbake i Göttingen skrev Heisenberg ferdig et manuskript hvor han sammenfattet sin nye kvanteteori.<ref name = Heisenberg> W. Heisenberg, ''Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechaniseher Beziehungen'', Zeit. Phys. '''33''', 879-893 (1925)  [http://www.psiquadrat.de/downloads/heisenberg1925.pdf PDF]</ref> Da Max Born fikk lese det i midten av juli, så han at det spesielle produktet Heisenberg hadde innført for de dynamiske variable, betyr at de utgjør elementene til [[matrise]]r. Heisenberg var på den tiden ikke kjent med matriseregning. Men han hadde oppdaget at produktet generelt er avhengig av hvilken rekkefølge de variable inngår i multiplikasjonen. Det tilsvarer at produktet av matriser ikke er en [[kommutativ lov|kommutativ]] operasjon.<ref name = Pais> A. Pais, ''Inward Bound: Of Matter and Forces in the Physical World'', Clarendon Press, Oxford (1986). ISBN 0-19-851971-0.</ref> 

Da Heisenberg måtte reise på et kortere besøk til [[Universitetet i Cambridge]] og skulle være ved [[Niels Bohr-instituttet|Bohrs institutt]] i København om høsten, spurte Born sin student [[Pascual Jordan]] om han vil være med å videreutvikle arbeidet til Heisenberg ved bruk av matriser. De variable ''x<sub>mn</sub>&thinsp;'' og ''p<sub>mn</sub>&thinsp;'' betraktes dermed som elementer av matrisene <math> \hat{x} </math> og <math> \hat{p} </math>, det vil si

: <math> x_{mn} = (\hat{x})_{mn}, \;  \;   \;  p_{mn} = (\hat{p})_{mn} </math> 

En klassisk Hamilton-funksjon

: <math> H = {p^2\over 2m} + U(x) </math>

kan dermed gi opphav til en tilsvarende Hamilton-matrise

: <math> \hat{H} = {\hat{p}^2\over 2m} + U(\hat{x}) </math>

Denne spesielle matrisen må her være diagonal med element {{nowrap|''H<sub>mn</sub>'' {{=}} ''E<sub>n</sub>''&thinsp;''&delta;<sub>mn</sub>''}} som vil bli de kvantiserte energiene til systemet.

===Kvantedynamikk===

Ved hjelp av Hamilton-matrisen kan bevegelsesligningene skrives mer kompakt. For eksempel vil 

: <math> {d\over dt}x_{mn}(t) = i\omega_{mn} x_{mn}(t) </math>

og den tilsvarende ligningen for ''p<sub>mn</sub>''(''t''&thinsp;) ta formen

: <math> i\hbar {d\over dt} \hat{x} = [\hat{x} , \hat{H}], \; \; \;   i\hbar {d\over dt} \hat{p} = [\hat{p} , \hat{H}] </math>

Det er en konsekvens av sammenhengen  ''ħ&omega;<sub>mn</sub>'' = ''E<sub>m</sub>'' - ''E<sub>n</sub>&thinsp;'' til Einstein-Bohr mellom frekvenser og energidifferanser samt definisjonen 

: <math>  [\hat{a} , \hat{b}] = \hat{a} \hat{b} - \hat{b} \hat{a} </math>

av '''kommutatoren''' mellom to matriser.<ref name = Weinberg> S. Weinberg, ''Lectures on Quantum Mechanics'', Cambridge University Press, England (2013). ISBN 978-1-107-02872-2.</ref>

Slike kvantemekaniske ligninger involverer matriser som generelt ikke kommuterer med hverandre. Mange beregninger forenkles ved bruk av et par grunnregler for regning med kommutatorer. Fra definisjonen følger at 

: <math> [\hat{a},  \hat{b} +  \hat{c}] = [\hat{a}, \hat{b}] + [\hat{a}, \hat{c}] </math> og <math> [\hat{a}, \hat{b} \hat{c}] = [\hat{a}, \hat{b}] \hat{c} +  \hat{b}[\hat{a}, \hat{c}] </math>

Med bruk av den gitte formen til Hamilton-matrisen følger nå for impulsen,

: <math> \hat{p} = m {d\over dt} \hat{x} = {1\over 2i\hbar}[\hat{x}, \hat{p}^2] = {1\over 2i\hbar} \big([\hat{x}, \hat{p}] \hat{p} +   \hat{p}[\hat{x}, \hat{p}] \big) </math>

Denne ligningen er oppfylt ganske enkelt hvis kommutatoren 

: <math> [\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar </math>

er proporsjonal med [[Identitetsmatrise|enhetsmatrisen]] som man implisitt tenker seg på høyre side. Mulige ikke-diagonale ledd på venstre side er derfor null. I sitt opprinnelige arbeid hadde Heisenberg bare behøvd de diagonale elementene av kommutatoren.<ref name = Weinberg/>

For en partikkel som beveger seg i tre dimensjoner, vil komponentene til den klassiske posisjonsvektoren '''x'''(''t''&thinsp;) kvantemekanisk bli erstattet med tre matriser <math> \hat{x}_1(t),  \hat{x}_2(t),  \hat{x}_3(t)</math>. Sammen med de konjugerte impulsmatrisene <math> \hat{p}_1(t),  \hat{p}_2(t),  \hat{p}_3(t) </math> kan deres fundamentale kommutatorer uttrykkes ved

: <math>  [\hat{x}_i, \hat{p}_j] = i\hbar\delta_{ij} ,</math>

mens <math>  [\hat{x}_i, \hat{x}_j] =  [\hat{p}_i, \hat{p}_j] = 0 .</math> Born og Jordan utvidet denne beskrivelsen på samme måte til systemer med flere frihetsgrader og tok de første trinn mot en kvantisering av [[elektromagnetisk felt|elektromagnetiske felt]].<ref name = BJ> M. Born und P. Jordan, ''Zur Quantendynamik'', Zeit. Phys. '''34''', 858-888 (1925)   [http://www.psiquadrat.de/downloads/bornjordan1925.pdf PDF] </ref>