Redigerer Kvantisert Hall-effekt (avsnitt)

==Fraksjonell Hall-effekt==

Ved enda sterkere magnefelt blir degenerasjonsgraden ''D'' så stor at alle elektronene får plass i laveste Landau-nivå uten at dette fylles helt. Er i tillegg materialet, som elektronene beveger seg i, meget rent, vil den elektriske frastøtningen mellom bevirke at de fordeler seg slik at den totale [[Coulombs lov|Coulomb-energien]] blir minst mulig. Det er under slike forhold at Hall-motstanden ''&rho;<sub>xy</sub>&thinsp;'' tar diskrete verdier hvor faktoren ''&nu;'' er lik et rasjonelt tall. Dette er senere blitt omtalt som den fraksjonelle Hall-effekten.

Den første og mest prominente stepp av denne kategorien i Hall-motstanden tilsvarte ''&nu;'' = 1/3. Det ble kort tid etter forklart av [[Robert B. Laughlin|Robert Laughlin]] som konstruerte en bølgefunksjon for elektronene som ga nøyaktig et slikt fenomen.<ref name="Stone">M. Stone, ''Quantum Hall Effect'', World Scientific Publishing, Singapore (1992). ISBN 981-02-0884-7.</ref> Den ble raskt generalisert til å gjelde for alle brøker av formen {{nowrap|''&nu;'' {{=}} 1/(2''p'' + 1)}} med {{nowrap|''p'' {{=}} 1, 2, 3, ...}} og skrives som

: <math>  \Psi_p(z) = \prod_{i<j}(z_i - z_j)^{2p+1} e^{-zz^*/4\ell_B^2} </math>

For ''p'' = 0 går den over i bølgefunksjonen for tilstanden ''&nu;'' = 1. Når ''p'' > 0, vil den gå raskere mot null når to elektroner med posisjoner ''z<sub>i</sub>&thinsp;'' og ''z<sub>j</sub>&thinsp;'' nærmer seg hverandre. Det bidrar til å holde elektronene fra hverandre og dermed redusere Coulomb-frastøtningen. Laughlins bølgefunksjon er ingen eksakt løsningen av problemet, men numeriske undersøkelser av systemer med et lite antall elektroner har vist at den gir resultat som er svært nøyaktige.<ref name = Stone/>

===Kompositte fermioner===

Spesielt i to dimensjoner kan et elektron på et vis absorbere et like antall 2''p&thinsp;'' magnetisk flukskvant {{nowrap|&Phi;<sub>0</sub> {{=}} ''h''/''e''}} uten å forandre fundamentale egenskaper. Et slikt fermion kalles et '''kompositt fermion''' da det er satt sammen av det opprinnelige elektronet og et like antall flukskvanta. De vil ha en sterkt redusert Coulomb-frastøtning og kan derfor betraktes som omtrent frie elektroner i et redusert magnetfelt {{nowrap|''B<sup>*</sup>'' {{=}} ''B'' - 2''pn''&thinsp;&Phi;<sub>0</sub>}} = ''n''&thinsp;&Phi;<sub>0</sub>. Det betyr at disse kompositte fermionene med 2,4,6, osv. flukskvant fyller akkurat opp det laveste Landau-nivået i dette effektive magnetfeltet, det vil si med en fyllingsgrad  {{nowrap|''&nu;<sup>*</sup>'' {{=}} 1}}. For det opprinnelige systemet med elektroner tilsvarer det fyllingsgradene {{nowrap|''&nu;'' {{=}} 1/3, 1/5, 1/7 etc.}}

Denne enkle forklaringen har [[Jainendra K. Jain|Jainendra Jain]] utvidet til å gjelde så sterke magnetfelt at disse kompositte fermionene kan fylle opp et heltall  {{nowrap|''&nu;<sup>*</sup> >'' 1}} med Landau-nivå i det reduserte magnetfeltet ''B<sup>*</sup>''. Da man har at {{nowrap|''&nu;B'' {{=}}  ''&nu;<sup>*</sup>B<sup>*</sup>''}} = ''n''&thinsp;&Phi;<sub>0</sub>, får man derfor sammenhengen

: <math> \nu = {\nu^*\over 2\nu^*p + 1} </math>

For to absorberte flukskvanta finner man derfor fyllingsgradene ''&nu;'' = 1/3, 2/5, 3/7 etc. med elektroner for ''&nu;<sup>*</sup>'' = 1, 2, 3 osv. fylte Landau-nivå med kompositte fermioner.<ref name = Jain>J.K. Jain, [https://physicstoday.scitation.org/doi/pdf/10.1063/1.883035 ''The Composite Fermion: A Quantum Particle and Its Quantum Fluids''], Physics Today '''53''' (4), 39-45 (2000).</ref>

Men det effektive magnetfeltet ''B<sup>*</sup>'' kan også være negativt. Det gir på samme måte fyllingsgradene

: <math> \nu = {\nu^*\over 2\nu^*p - 1} </math>

eller  ''&nu;'' = 1, 2/3, 3/5 etc. for ''&nu;<sup>*</sup>'' = 1, 2, 3 osv. På denne måten kan man forstå alle fraksjonelle fyllingsgrader som opptrer.  Også andre egenskaper med den kvantiserte Hall-effekten i dette regimet kan forklares i dette bildet med kompositte fermioner.<ref name = Stormer/>