Redigerer Kinetisk energi (avsnitt)

===Rotasjonsenergi===

Hvis alle partiklene i en slik samling er i felles bevegelse som skyldes en rotasjon med [[rotasjonshastighet|omdreiningshastighet]] '''&omega;''', vil hver partikkel bevege seg med hastighet  {{nowrap|'''v'''<sub>''a''</sub> {{=}} '''&omega;'''&thinsp;&times;&thinsp;'''r'''<sub>''a''</sub>&thinsp;}} når den har en posisjonsvektor '''r'''<sub>''a''</sub> i referansesystemet som benyttes. Størrelsen til denne hastigheten kan skrives som |'''v'''<sub>''a''</sub>&thinsp;| = ''&omega;&rho;<sub>a</sub>'' hvor ''&rho;<sub>a</sub>'' er avstanden til partikkelen fra rotasjonsaksen. Den kinetiske energien for bevegelsen er da<ref name="Irgens">F. Irgens, ''Dynamikk'',  Tapir, Trondheim (1999). ISBN 82-519-1500-7.</ref>

: <math> E_{kin} = {1\over 2}\sum_a m_a (\boldsymbol{\omega}\times \mathbf{r}_a)^2 
                         = {1\over 2}\omega^2 \sum_a m_a  \rho_a^2 =  {1\over 2}I\omega^2 </math>

hvor ''I&thinsp;'' er [[treghetsmoment]]et til alle partiklene om rotasjonsaksen definert ved '''&omega;'''. Dette vil opplagt være avhengig av retningen til denne i forhold til punktenes posisjoner og må regnes ut for hver ny rotasjonsakse.

For å unngå dette, kan man alternativt skrive ut kvadratet av [[kryssprodukt]]et som gir 

: <math> E_{kin}  = {1\over 2}\sum_a m_a (\omega^2r_a^2 - (\boldsymbol{\omega}\cdot \mathbf{r}_a)^2)  </math>

I et [[kartesisk koordinatsystem]] blir dette gitt ved den dobbelte summen

: <math> E_{kin} = {1\over 2} \sum_{i,j} I_{ij} \omega_i \omega_i </math>

hvor summasjonene går over de tre kartesiske retningene, og 

: <math>  I_{ij} = \sum_a m_a( r_a^2 \delta_{ij} - x_{ai}x_{aj})</math>

er «treghetstensoren». Her er ''x<sub>ai</sub>&thinsp;'' ''i''-te komponent av vektoren '''r'''<sub>''a''</sub> og ''&delta;<sub>ij</sub>&thinsp;'' er [[Kronecker-delta|Kronecker-symbolet]]. 

Da komponentene til treghetstensoren danner en [[symmetrisk matrise]], kan man alltid finne et koordinatsystem hvor den bare har diagonale komponenter ''I<sub>x</sub>'', ''I<sub>y</sub>'' og ''I<sub>z</sub>''. For et stift legeme kan nå disse regnes ut en gang for alle og benyttes uavhengig av rotasjonsretning. 

I dette  spesielle «hovedaksesystemet» kan da rotasjonsenergien skrives på den forenklete formen<ref name = Irgens/>

: <math> E_{kin} = {1\over 2}I_x \omega_x^2 + {1\over 2}I_y \omega_y^2 + {1\over 2}I_z \omega_z^2 </math>

hvor ''&omega;<sub>x</sub>'', ''&omega;<sub>y</sub>'' og ''&omega;<sub>z</sub>''&thinsp; er de kartesiske komponentene til vinkelhastigheten '''&omega;'''&thinsp; i det samme koordinatsystemet.