Redigerer Feltlinje (avsnitt)

==Todimensjonal potensialstrømning==

Beregning av feltlinjer i todimensjonale systemer er matematisk interessant med mange praktiske anvendelser. Spesielt gjelder det når vektorfeltet er virvelfritt slik at det kan utledes fra et potensial. I [[hydrodynamikk]]en kalles dette ofte for ''&phi;''&thinsp; slik at hastighetsfeltet kan skrives som {{nowrap|'''v''' {{=}} '''&nabla;'''&thinsp;''&phi;}}.
Komponentene er derfor gitt som

: <math> v_x = {\partial\phi\over\partial x}, \;\;\; v_y = {\partial\phi\over\partial y} </math>

Hvis vektorfeltet i tillegg beskriver en inkompressibel væske, sier man at man har en '''potensialstrømning'''. Denne ekstra betingelsen {{nowrap|'''&nabla;'''&thinsp;&sdot;'''v''' {{=}} 0&thinsp;}} betyr da at hastighetspotensialet tilfredsstiller  den todimensjonale [[Laplace-operator|Laplace-ligningen]] 
: <math>  {\partial^2\phi\over\partial x^2} + {\partial^2\phi\over\partial y^2} = 0 </math>

Løsningen er derfor en [[harmonisk funksjon]].

===Strømningspotensial===
[[Fil:Inviscid flow around a cylinder.gif|thumb|300px|Flyt rundt en fast sylinder er et eksempel på todimensjonal potensialstrømning.]]
Feltlinjene kan finnes ved å innføre et '''strømningspotensial''' ''&psi;''(''x,y'') (også kjent som en '''strømfunksjon''' når man snakker om vilkårlige kildefrie felt som ikke nødvendigvis er virvelfrie) definert slik at

: <math> v_x = {\partial\psi\over\partial y}, \;\;\; v_y =  - {\partial\psi\over\partial x} </math>

På den måten blir betingelsen {{nowrap|'''&nabla;'''&thinsp;&sdot;'''v''' {{=}} 0&thinsp;}} automatisk oppfylt, ettersom den partiellderiverte av en funksjon ''ψ'' med hensyn på y og deretter x, er den samme som den partiellderiverte med hensyn på x og deretter y. Altså ser vi hvorfor kildefrihet er en nødvendig betingelse for at vi skal kunne lykkes med å finne en slik ''ψ .''

Langs en bestemt strømlinje ''y'' = ''y''(''x'')&thinsp; gjelder da

: <math> {d\psi\over dx} = {\partial\psi\over\partial x} + {\partial\psi\over\partial y}{dy\over dx} = - v_y + v_x{dy\over dx} = 0 </math>

som følger fra den generelle definisjonen av feltlinjer. Dette betyr at de finnes fra strømningspotensialet ved ligningen {{nowrap|''&psi;''(''x,y'') {{=}} ''C''&thinsp;}} for hver verdi av konstanten ''C''.<ref name = Tritton/>

Fra definisjonen av dette nye potensialet ser man at det er relatert til det vanlige hastighetspotensialet ved [[Cauchy-Riemanns ligninger]],

: <math>  {\partial\psi\over\partial y} = {\partial\phi\over\partial x}, \;\;\;  {\partial\psi\over\partial x} = - {\partial\phi\over\partial y}  </math>

Strømningspotensialet oppfyller derfor også Laplace-ligningen. I tillegg betyr det også at begge potensialene inngår i et [[komplekst tall|komplekst]] potensial

: <math> f(z) = \phi(x,y) + i\psi(x,y) </math>

som er en [[funksjon (matematikk)|funksjon]] av den ene variable ''z'' = ''x'' + ''iy''&thinsp; hvor ''i'' = &radic;-1&thinsp; er den [[imaginær enhet|imaginære enhet]]. Det er denne sammenhengen med komplekse funksjoner som gjør potensialstrømning i to dimensjoner så matematisk interessant og som også tillater mer direkte beregninger av de tilsvarende feltlinjene.<ref name="CB">R.V. Churchill and J.W. Brown, ''Complex Variables and Applications'',  McGraw-Hill Inc, New York (1990). ISBN 0-070-10905-2.</ref>

===Eksempel===

Mer kompliserte strømningsforløp i to dimensjoner kan bygges ven kombinasjon av strømninger fra enkle kilder og sluk som for elektromagnetiske felt.
Da beskriver det komplekse potensialet

: <math> f(z) = {K\over 2\pi}\ln z </math>

hvor ''K&thinsp;'' er en reell konstant, en enkelt punktkilde i origo.<ref name = CB/> Dette kommer tydeligere frem ved bruk av [[polarkoordinatsystem|polarkoordinater]] {{nowrap|(''r,&theta;'')}}. Da er {{nowrap|''x {{=}} r''&thinsp;cos''&theta;''&thinsp;}} og {{nowrap|''y {{=}} r''&thinsp;sin''&theta;''&thinsp;}} slik at {{nowrap|''z'' {{=}} ''r&thinsp;e''<sup>&thinsp;''i&theta;''</sup>}}. Hastighetspotensialet er derfor

: <math>  \phi = {K\over 2\pi}\ln r </math>

på samme måte som Coulomb-potensialet i to dimensjoner. Ekvipotensiallinjene er sirkler om origo slik at strømningen er rettet i radiell retning. Hastigheten i denne retningen {{nowrap|''v<sub>r</sub>'' {{=}} &part;''&phi;''/&part;''r''&thinsp;}} avtar som 1/''r&thinsp;'' i analogi med det elektriske feltet utenfor en [[elektrisk felt#Linjeladning|linjeladning]].

På samme måte ser man at strømningspotensialet for denne punktkilden er

: <math>  \psi = {K\over 2\pi}\theta </math>

De tilsvarende feltlinjene er derfor gitt ved ''&theta;'' = konstant. Som forventet er de rette linjer ut fra origo med en konstant verdi for den polare vinkelen.