Redigerer Dispersjon (optikk) (avsnitt)

==Kvantemekanisk dispersjon==
Optisk dispersjon spilte en viktig rolle i utviklingen av [[kvantemekanikk]]en fra 1919 og  i årene som fulgte. Allerede etter etableringen av [[Bohrs atommodell]] i 1913 var det blitt klart at absorbsjon av lys foregikk ved at et elektron i et atom  ble eksistert fra en kvantetilstand til en tilstand med høyere energi. Det hadde også vært grunnlaget for [[Einstein]]s innføring av [[Einsteins strålingskoeffisient|strålingskoeffisientene]] i 1916.
Men likevel ga ikke denne fremgangen noen forståelse av hva slags oscillatorer som kunne befinne seg i atomet for å gi et resultat for dispersjonen av samme form som Sellmeier hadde etablert.<ref name = cq> O. Darrigol, [https://publishing.cdlib.org/ucpressebooks/view?docId=ft4t1nb2gv&brand=ucpress ''From c- Numberss to q-Numbers''], University of California Press, Berkeley (1992).</ref>

Dette forandret seg  i 1921 da [[Rudolf Ladenburg]] ved eksperiment og teoretiske betraktninger viste at resonansfrekvensene måtte tilsvare [[Bohrs atommodell#Bohrs postulater|Bohr-frekvensene]] 

: <math>  \hbar\omega_{mn} = E_m - E_n </math>

for en overgang mellom en kvantetilstand med energi ''E<sub>m</sub>&thinsp;'' til en annen tilstand med energi ''E<sub>n</sub>''. Hvis man antar at atomene befinner seg i «grunntilstanden» som har lavest energi ''E''<sub>0</sub>, kan dermed dispersjonformelen forstås som en sum over eksitasjoner til høyere energinivå ''E<sub>k</sub>&thinsp;'' med frekvenser {{nowrap|''&omega;<sub>k</sub>'' {{=}} ''&omega;''<sub>''k''0</sub>}}. 

Antall oscillatorer som bidrar til denne overgangen, ble nå skrevet som ''N<sub>k</sub>'' = ''Nf<sub>k</sub>&thinsp;'' hvor faktoren ''f<sub>k</sub>&thinsp;''  kalles '''oscillatorstyrken''' for denne overgangen. Tidligere ble de forstått som brøkdelen av alle oscillatorer ''N&thinsp;'' som bidrar. Ladenburg knyttet dem til [[Einsteins strålingskoeffisienter]] som uttrykker sannsynligheter for mulige overganger i et atom.<ref name = Taltavull> M.J. Taltavull, [https://www.semanticscholar.org/paper/Rudolf-Ladenburg-and-the-first-quantum-of-optical-Taltavull/7f15ff6e19a46074a6673df8a36ce50c899a329b ''Rudolf Ladenburg and the first quantum interpretation of optical dispersion''], Eur. Phys. Journal H '''45''', 123–173 (2020).</ref>

===Hendrik Kramers===

Den endelige generaliseringen av dispersjonsformelen ble funnet av [[Hendrik Kramers]] i 1924. Han videreførte Ladenburgs observasjoner og betraktet et atom inneholdende oscillatorer med frekvenser lik med alle overgangsfrekvensene ''&omega;<sub>km</sub>&thinsp;''. Det tillot han å ta med bidrag til dispersjonen fra atomer som i utgangspunktet befinner seg ikke bare i grunntilstanden, men i vilkårlige tilstander med energier {{nowrap|''E<sub>m</sub>'' > ''E''<sub>0</sub>}}. På den måten kom han frem til et resultat som kan skrives på formen

: <math> n^2(\omega) = 1 + {e^2\over \varepsilon_0 m_e} \sum_{km} {N_m f_{km} \over \omega_{km}^2 - \omega^2 - i\omega\Gamma_{km}} </math>

hvor ''N<sub>m</sub>&thinsp;'' er antall atomer i tilstanden karakterisert med kvantetallet ''m''. Her vil summasjonen over resulterende tilstander med kvantetall ''k'' og energier {{nowrap|''E<sub>m</sub>'' > ''E<sub>k</sub>&thinsp;''}} tilsvare absorpsjon av stråling med oscillatorstyrker ''f<sub>km</sub>'' > 0. Dermot vil bidraget fra tilstandene med mindre energi tilsvare «negativ absorpsjon», det vil si [[Einsteins strålingskoeffisient|stimulert emisjon]] som Einstein tidligere hadde oppdaget. For disse overgangene gjelder derfor at oscillatorstyrkene ''f<sub>km</sub>&thinsp;'' er negative. Dette nye bidraget til den anomale dispersjonen betyr at den vil avta med økende frekvenser i nærheten av en overgang med {{nowrap|''f<sub>km</sub>'' < 0}}. Senere eksperiment har bekreftet slike variasjoner i brytningsindeksen.<ref name = Milonni> P.W. Milloni, ''An Introduction to Quantum Optics and Quantum Fluctuations'', Oxford University Press, England (2019). ISBN 978-0-19-921561-4.</ref>

Dispersjonsformelen til Kramers viste seg å være i overenstemmelse med den endelige formuleringen av [[kvantemekanikk]]en som [[Werner Heisenberg]] startet 1925. Den gjorde det også mulig å beregne oscillatorstyrkene for forskjellige atom.<ref name = cq/>

===Thomas-Reiche-Kuhn summeregel===

Da de opprinnelige oscillatorstyrkene ''f<sub>k</sub>'' = ''f''<sub>''k''0</sub>  var definerte som brøkdelen av antall atomer som bidro med frekvensen {{nowrap|''&omega;<sub>k</sub>'' {{=}} ''&omega;''<sub>''k''0</sub>}}, vil de måtte tilfredsstille «summeregelen» 

: <math> \sum_k f_k = \sum_k f_{k0} = 1 </math>

Like etter at Kramers hadde utvidet gyldigheten av dispersjonformelen, ble dette kravet til oscillatorstyrkene også generalisert til

: <math> \sum_k f_{km} = 1 </math>

for vilkårige tilstander med kvantetall ''k''. Mange av bidragene til summeregelen vil nå være negative. Den følger fra å betrakte meget høye frekvenser ''&omega;&thinsp;'' i dispersjonsformelen. Da kan man se bort fra oscillatorfrekvensene ''&omega;<sub>km</sub>'', og resultatet må være det samme som for dispersjonen fra frie elektron. Formelen bærer vanligvis navnene til Werner Kuhn ved instituttet til [[Niels Bohr]] i København samt Fritz Reiche og Willy Thomas som arbeidet i gruppen til Ladenburg ved universitetet i  [[Breslau]].<ref name = BLvdW>B.L. van der Waerden, [https://books.google.de/books?id=s_XovCVfqNcC&printsec=frontcover&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false ''Sources of Quantum Mechanics''], Dover Publications, New York (2007). ISBN 0-486-45892-X.</ref>

===Kvantemekanikk===
Summeregelen ble benyttet av Heisenberg i sitt første arbeid om [[matrisemekanikk]]. Så snart den nye [[kvantemekanikk]]en ble mer generelt formulert, var det klart at summeregelen følger fra den [[kvantemekanikk|kanoniske kommutatoren]] [x,p] = ''iħ'' mellom en koordinat x og den konjugerte impulsen p der ''ħ'' er den reduserte [[Plancks konstant|Planck-konstanten]]. Oscillatorstyrkene for et atom med ett aktivt elektron finnes nå som

: <math> f_{km} = {2m_e\omega_{km} \over 3\hbar} |\mathbf{x}_{km}|^2 </math>

som inneholder [[matrise]]elementet '''x'''<sub>''km''</sub> av elektronets posisjonsoperator '''x'''. Disse er positive eller negative avhengig av om overgangsfrekvensene ''&omega;<sub>km</sub>&thinsp;'' er positive eller negative.

Selv om det kvantemekaniske resultatet for brytningsindeksen har samme struktur som Sellmeiers opprinnelige formel, er fysikken bak den nå helt forskjellig. Istedenfor dipolmomentet  {{nowrap|'''p''' {{=}} ''e'''''x'''}} inngår her effektivt dets kvadrat, mens de klassiske oscillatorene er erstattet med overganger mellom  forskjellige kvantetilstander med sannsynligheter gitt ved tilsvarende oscillatorstyrker.<ref name = Longair> M. Longair, ''Quantum Concepts in Physics'', Cambridge University Press, England (2014). ISBN 978-1-107-01709-2.</ref>