Redigerer Variasjonsregning (avsnitt)

===Eksempel===
[[Image:circle-optimal.jpg|thumb|right|300px|Den røde linjen som forbinder punktene (-''a'',0) med (''a'',0), avgrenser et maksimalt areal mot ''x''-aksen når den er en sirkelbue med sentrum på den negative ''y''-aksen..]]

La oss tenke oss at vi har et rep med lengde ''L''. Dette repet skal forbinde punktet (-''a'',0)  med punktet  (''a'',0)  i et aksekors med koordinater  (''x,y'') som vist i figuren. La oss anta at dermed er plasseringen av repet beskrevet entydig ved en kurve ''y = y(x)''. For at dette skal være praktisk mulig, må opplagt ''L > 2a''. Spørsmålet nå er å gjøre det på en slik måte at arealet mellom denne kurven og ''x''-aksen er størst mulig. Dette arealet ''A'' er gitt ved integralet

: <math> A = \int_{-a}^a\!dx\, y </math>

og kan i utgangspunktet gjøres så stort man vil. Men samtidig må bibetingelsen at lengden ''L'' av repet er en gitt størrelse, være oppfylt. På samme måte som for beregningen av den geodetiske linje, er lengden gitt ved integralet

: <math>  L =  \int_{-a}^a\!dx\,\sqrt{1 + y'^2} </math>

hvor ''y' = dy/dx''. Dette er en global bibetingelse. For å finne kurven som gir maksimalt areal må vi derfor bruke

: <math> A^* = y + \lambda \sqrt{1 + y'^2} </math>

i Euler-Lagrange-ligningen. Da blir &part;''A<sup>*</sup>/&part;&thinsp;y'' = 1 og &part;''A<sup>*</sup>/&part;&thinsp;y''' = &lambda;''y'/&radic;(1 +y'<sup>&thinsp;2</sup>)'' slik at ligningen tar formen

: <math>  {d\over dx} {\lambda y'\over\sqrt{1 + y'^2}} = 1</math> 

Denne kan direkte integreres med resultatet

: <math>  {\lambda y'\over\sqrt{1 + y'^2}} = x +b </math>

hvor ''b'' er en integrasjonskonstant. Denne må være null utfra symmetrien i problemet. Løser man nå dette resultatet med hensyn på ''y''', finner man lett at

: <math>  {dy\over dx} = - {x\over \sqrt{\lambda^2 - x^2}} </math>

når man tar roten med negativt fortegn. Da den største verdien av ''x'' er ''a'', ser vi at &lambda; > ''a'' for å ha en ikke-triviell løsning. Enda en direkte integrasjon gir nå

: <math>  y + c = \sqrt{\lambda^2 - x^2} </math>

Dette beskriver en sirkelbue med radius &lambda; og med sentrum på ''y''-aksen i ''y = - c''. Denne sirkelbuen forbinder de to gitte punktene  (-''a'',0) og  (''a'',0). De bestemmer verdien av konstanten ''c'' som derfor må ha verdien ''c = &radic;(&lambda;<sup>2</sup> - a<sup>2</sup>''). Verdien av &lambda; finnes ved å sette løsningen inn i integralet som gir repets lengde ''L''. Legg merke til at når ''L = &pi;&thinsp;a'' er sirkelbuens radius &lambda; = ''a'', og den har sentrum i origo. For større verdier av ''L'' gir den komplementære sirkelbuen svaret på spørsmålet.