Redigerer Projektivt plan (avsnitt)

== Ideelle punkt og linjer ==
For at en lysstråle fra et objektpunkt til øyet (origo) skal krysse et punkt i billedplanet, kan den ikke være parallell til dette planet. En vektor {{nowrap|(''x''<sub>1</sub>,''x''<sub>2</sub>,''x''<sub>3</sub>)}} som er parallell med billedplanet vil da ikke skjære dette og tilsvarer et punkt som på et vis ligger uendelig langt borte. I det projektive planet må også disse ''idelle punkt'' tas med på samme måte som vanlige, endelige punkt. De ligger på en linje som tilsvarer et plan i '''E'''<sup>3</sup> gjennom origo som er parallelt med billedplanet. Denne ''ideelle linjen'' er derfor beskrevet ved en vektor {{nowrap|[''n''<sub>1</sub>,''n''<sub>2</sub>,''n''<sub>3</sub>]}} som står normalt på billedplanet. 

Ved å ta med den ideelle linjen med sine ideelle punkt, er det euklidske planet utvidet til å bli et projektivt plan. I det vil alle vanlige linjer krysse den ideelle linjen i et ideelt punkt.  Da to linjer kun kan ha et skjæringspunkt, vil man komme til samme, ideelle punkt uansett i hvilken retning man beveger seg langs en linje mot det uendelige fjerne. En linje mellom to ideelle punkt faller sammen med den ideelle linjen. Vanlige linjer som ser ut til å være parallelle, skjærer hverandre i et ideelt punkt.

De homogene koordinatene til de ideelle punktene og deres felles linje avhenger av hvordan billedplanet legges inn i '''E'''<sup>3</sup>. Den mest symmetriske måten er å plassere det slik at det går gjennom punktene ''X'' = (1,0,0), ''Y'' = (0,1,0) og ''Z'' = (0,0,1). Disse tre punktene definerer et '''referansetriangel''' i det projektive planet. Hvert punkt kan da angis som {{nowrap|''P'' {{=}} ''x''<sub>1</sub>''X'' + ''x''<sub>2</sub>''Y'' + ''x''<sub>3</sub>''Z''.}} Normalen til billedplanet definerer nå den ideelle linjen som '''n'''<sub>&infin;</sub> = [1,1,1]. Denne linjen er derfor også beskrevet ved ligningen {{nowrap|''x''<sub>1</sub> + ''x''<sub>2</sub> + ''x''<sub>3</sub> {{=}} 0}}. Det betyr at alle ideelle punkt '''x'''<sub>&infin;</sub> har homogene koordinater som summerer seg opp til null. For eksempel er {{nowrap|''P''<sub>1</sub> {{=}} (-2,1,1)}} et ideelt punkt i dette koordinatsystemet.

=== Standard koordinatsystem ===
[[Fil:Projektivekoordinater.jpg|thumb|320px|Punkt og linjekoordinater i det projektive planet. Den ideelle linjen er skissert i rødt.]]
For mange praktiske oppgaver er mer hensiktsmessig å plassere bildeplanet parallelt med et av koordinatplanene i '''E'''<sup>3</sup>.  Vanligvis velges det å være parallelt med {{nowrap|''xy''-planet}}, for eksempel gitt ved  {{nowrap|''z'' {{=}} 1.}} Linjen til den ideelle linjen tilsvarer da vektoren {{nowrap|[0,0,1]}} slik at den er beskrevet ved ligningen {{nowrap|''x''<sub>3</sub> {{=}} 0.}} Punkter som har denne tredje koordinaten lik null, er da ideelle og har homogene koordinater av formen (''x''<sub>1</sub>,''x''<sub>2</sub>,0) hvor kun forholdet {{nowrap|''x''<sub>1</sub>/''x''<sub>2</sub>}} teller. I motsatt fall kan de betraktes som endelige punkt i et euklidsk plan. For et slikt punkt {{nowrap|''P'' {{=}} (''x''<sub>1</sub>,''x''<sub>2</sub>,''x''<sub>3</sub>)}} med {{nowrap|''x''<sub>3</sub> &ne; 0}} kan da koordinatene skaleres slik at man får {{nowrap|''P'' {{=}} (''x,y,''1)}} hvor {{nowrap|''x'' {{=}} ''x''<sub>1</sub>/''x''<sub>3</sub>}} og {{nowrap|''y'' {{=}} ''x''<sub>2</sub>/''x''<sub>3</sub>}} blir kartesiske koordinater i den endelige, euklidske delen av det projektive planet.

Som en illustrasjon kan man betrakte den euklidske linjen {{nowrap|''x'' {{=}} 1.}} Med homogene koordinater vil den ta formen {{nowrap|''-x''<sub>1</sub> + ''x''<sub>3</sub> {{=}} 0}} som tilsvarer vektoren {{nowrap|[-1,0,1]}} i linjekoordinater. Likedan vil vektoren {{nowrap|[-1,0,3]}} tilsvare den euklidske linjen {{nowrap|''x'' {{=}} 3.}} Kryssproduktet av disse to vektorene gir det ideelle punktet (0,1,0) som er skjæringspunktet mellom disse to parallelle linjene og ligger i det uendelige fjerne.

På samme måte finner man ved bruk av regnereglene for homogene koordinater at skjæringspunktet for de to parallelle linjene {{nowrap|''ax''<sub>1</sub> + ''bx''<sub>2</sub> + ''cx''<sub>3</sub> {{=}} 0}} og {{nowrap|''ax''<sub>1</sub> + ''bx''<sub>2</sub> + ''c'&thinsp;''x<sub>3</sub> {{=}} 0}} er punktet {{nowrap|(''c' - c'')(''b, -a'', 0)}} som er ekvivalent med {{nowrap|(''b, -a'', 0)}}. Som ventet har det ''x''<sub>3</sub> = 0 og er derfor et ideelt punkt i samme retning som linjene går.

I dette koordinatsystemet er origo punktet (0,0,1) som tilsvarer ''n''<sub>3</sub> = 0 i linjekoordinater. Det som i den endelige delen er ''x''-aksen, tilsvarer linjen {{nowrap|''x''<sub>2</sub> {{=}} 0}} i det fulle, projektive planet. De homogene koordinatene til denne linjen er [0,1,0]. På samme måte tilsvarer ''y''-aksen linjen {{nowrap|''x''<sub>1</sub> {{=}} 0}} gitt ved vektoren [1,0,0]. Den tredje koordinataksen er linjen {{nowrap|''x''<sub>3</sub> {{=}} 0}} i det uendelige gitt ved vektoren   '''n'''<sub>&infin;</sub> = [0,0,1]. Alle ideelle punkt '''x'''<sub>&infin;</sub> = (''x,y'',0) ligger på denne. Som referansetriangel i planet kan nå punktene ''X''<sub>1</sub> = (1,0,0),  ''X''<sub>2</sub> = (0,1,0) og  ''X''<sub>3</sub> = (0,0,1) benyttes. To av disse er nå ideelle, men må behandles på like fot med alle andre punkt.

=== Sfærisk modell ===
[[Fil:Plan_projectif_recollement.svg|thumb|right|Det projektive planet kan defineres som et [[kvadrat]] hvor motsatte sider vris og sammenføyes.]]
En alternativ fremstilling av det projektive planet får man ved å tenke seg at man benytter en [[kule (geometri)|kuleflate]] i stedet for et plant billedplan. Da vil hver lysstråle inn på øyet i kulens sentrum treffe overflaten i to punkter. Bare et av disse må benyttes for å angi lysstrålens retning. Man kan da for eksempel betrakte hvert punkt på den nordlige halvkulen som et punkt i det projektive planet. Med det valget vil den ideelle linjen tilsvare punkter langs ekvator hvor motsatte motsatte punkt representerer det samme, projektive punktet. Prøver man å lage en fysisk modell av dette sfæriske koordinatsystemet, vil man ikke klare det i vårt tredimensjonale rom da den halve kuleflaten må skjære gjennom seg selv. Man kan kun tenke seg dette i et rom med ekstra dimensjoner.

Denne halve kuleflaten kan man videre tenke seg blir skviset sammen til en sirklulær disk hvor motsatte punkt på randen må identifiseres og tilsvarer den ideelle linjen. Topologisk er denne disken det samme som et [[kvadrat]] hvor motsatte sider må vris og limes sammen. Dette kan kun gjøres hvis man hadde adgang til et rom med en høyere dimensjon. Dette gir en ny, mer abstrakt modell for det projektive planet.