Redigerer Maupertuis’ virkningsprinsipp (avsnitt)

===Newtons andre lov===

Minste virknings prinsipp er ekvivalent med [[Newtons andre lov]] som bestemmer all bevegelse i [[klassisk mekanikk]]. Det kan man vise ved å ta hensyn til at de varierte banene {{nowrap|'''''r'''(t) + &delta;'''r'''(t)''}} alle må ha samme energi {{nowrap|''E {{=}}  mv<sup>2</sup>/2 + V('''r''')''}}. Variasjonen ''&delta;'''r''''' i partikkelens posisjon må derfor medføre en tilsvarende variasjon i dens hastighet gitt ved {{nowrap|''mv&delta;v {{=}} - ('''&nabla;'''V)&sdot;&delta;'''r'''''}} da betingelsen ''&delta;E = 0'' må være oppfylt. Variasjonen av Maupertuis' virkning er nå

: <math> \delta W = m\!\int_A^B\!(\delta ds\,v + ds\,\delta v) </math>

som kan forenkles ved å skrive det kvadrerte linjeelementet som {{nowrap|''ds<sup>2</sup> {{=}} d'''r'''&sdot;d'''r'''''}}. Derfor er {{nowrap|''ds&delta;ds {{=}} d'''r'''&sdot;&delta;d'''r'''''}} som betyr at {{nowrap|''v&delta;ds {{=}} (d'''r'''/ds)(ds/dt)&sdot;&delta;d'''r''' {{=}} '''v'''&sdot;&delta;d'''r'''''&thinsp;}} hvor {{nowrap|'''''v''' {{=}} d'''r'''/dt''&thinsp;}} er den vektorielle hastigheten. Da {{nowrap|''&delta;d'''r''' {{=}} d&delta;'''r'''''}}, kan man nå foreta en partiell integrasjon av første ledd i integralet. Under betingelse av at variasjonen ''&delta;'''r''''' er null i ytterpunktene ''A'' og ''B'', blir da variasjonen av virkningen

: <math> \delta W = - \int_A^B\!ds\Big[m{d\mathbf{v}\over ds}  + {1\over v}\boldsymbol{\nabla}V\Big]\cdot\delta\mathbf{r} </math>

For at denne skal være null for alle variasjoner  ''&delta;'''r''''', må parentesen under integraltegnet være null. Det er bare mulig hvis hastigheten til partikkelen oppfyller ligningen {{nowrap|''md'''v'''/dt {{=}} - '''&nabla;'''V''}}. Man ser det ved å benytte at {{nowrap|''vd'''v'''/ds {{=}} (ds/dt)&thinsp;d'''v'''/ds {{=}} d'''v'''/dt''}} som er [[akselerasjon]]en '''''a''''' til partikkelen. Siden {{nowrap|'''''F''' {{=}} - '''&nabla;'''V''}} er kraften som virker på den, er resultatet av variasjonsprinsippet derfor ikke noe annet enn [[Newtons andre lov]] {{nowrap|'''''F''' {{=}} m'''a'''''}}. Da dette er en andre ordens differensialligning, vil løsningen gi sluttposisjonen ''B''  som en funksjon av begynnelsesposisjon ''A'', tiden ''t'' og energien ''E'' til bevegelsen.