Redigerer Matrisemekanikk (avsnitt)

==Harmonisk oscillator==

På vei tilbake fra Helgoland stoppet Heisenberg i Hamburg for å diskutere denne nye kvantemekanikken med sin venn og kollega [[Wolfgang Pauli]]. Tilbake i Göttingen forklarte han i et brev den 24. juni detaljene rundt kvantiseringen av en enkel harmonisk oscillator.<ref name = BLvdW/>

Han tok da utgangspunkt i den klassiske bevegelsen til oscillatoren. Når den har frekvens ''&omega;'', kan utslaget eller posisjonen skrives som

: <math> x(t) = ae^{-i\omega t} + a e^{i\omega t} </math>

hvor ''a'' er en amplitude som man her kan velge å være reell. I den kvantemekaniske beskrivelsen vil det derfor bare opptre to typer med variable tilsvarende størrelsene ''x''<sub>''n,n''&plusmn;1</sub> med en tidsvariasjon

: <math> x_{n,n\pm 1}(t) = a_{n,n\pm 1} e^{\mp i\omega t} </math>

som følger fra korrespondanseprinsippet. Da det klassiske utslaget ''x''(''t&thinsp;'') er reelt, vil også {{nowrap|''a''<sub>''n,n''&plusmn;1</sub> {{=}} ''a''<sub>''n''&plusmn;1,''n''</sub>&thinsp;}} være reelle størrelser. De bestemmer de nye variable som beskriver den kvantemekaniske impulsen,

: <math> p_{n,n\pm 1}(t) = \mp i\omega\, a_{n,n\pm 1} e^{\mp i\omega t} </math>

Fra de diagonale elementene av Hamilton-funksjonen finnes nå den kvantiserte energien til oscillatoren som

: <math> E_n = {1\over 2} \sum_k \big(p_{nk}p_{kn} + \omega^2 x_{nk}x_{kn}\big) </math>
 
Summen innholder bare bidrag fra ''k'' = ''n'' &plusmn;1 og gir

: <math> E_n = \omega^2(a^2_{n,n+1} + a^2_{n,n-1}) </math>

På samme måte gir kvantiseringsbetingelsene 

: <math> \sum_{k = n \pm 1} (x_{nk}p_{kn}  - p_{nk}x_{kn}) = i\hbar </math>

at disse overgangsamplitudene må oppfylle

: <math> a^2_{n,n+1} - a^2_{n,n-1} = {\hbar\over 2\omega} </math>

Da oscillatoren må ha en grunntilstand med lavest energi, kan man betegne denne med kvantetallet ''n'' = 0. Overganger til tilstander med lavere energi vil da ikke finne sted. Kvantiseringsbetingelsene er dermed oppfylt for

: <math> a^2_{n,n+1} =  {\hbar\over 2\omega}(n + 1) </math>

som også gir størrelsen av amplitudene ''a''<sub>''n,n'' - 1</sub> = ''a''<sub>''n'' - 1,''n''&thinsp;</sub>. Den kvantiserte energien til oscillatoren er dermed

: <math> E_n =  \omega^2(n + 1 + n) {\hbar\over 2\omega} =  (n + 1/2)\hbar\omega </math>

hvor ''n'' = 0, 1, 2, 3 og så videre. Matrisene som beskriver den kvantemekaniske oscillatoren, er derfor uendelig store. For eksempel utgjør amplitudene ''a<sub>mn</sub>&thinsp;'' der ''m'' = ''n'' - 1 den uendelige matrisen

: <math>\hat a= \sqrt{\hbar\over 2\omega}\, \begin{pmatrix} 0 & \sqrt{1} & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & \sqrt{2} & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & \sqrt{3} &\cdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots &\ddots \end{pmatrix},
</math> 

eller den transponerte matrisen <math> \hat a^\dagger </math> for ''m'' = ''n'' + 1. Herav finnes de tilsvarende matrisene for de dynamisk variable ''x<sub>mn</sub>&thinsp;'' og ''p<sub>mn</sub>''. Disse resultatene og fremgangsmåten er praktisk den samme som benyttes i dag ved [[Kvantisert harmonisk oscillator|kvantisering av harmonisk oscillator.]]

Bortsett fra energien ''E''<sub>0</sub> = ''ħ&omega;''/2 for grunntilstanden til oscillatoren, er dette samme resultat som også var funnet ved  halv-klassisk [[Bohr-Sommerfeld-kvantisering]]. Nødvendigheten av en slik «nullpunktsenergi» i grunntilstanden hadde tidligere vært diskutert i forskjellig andre sammenhenger. I dag har den fått ny betydning.<ref name = Kragh-1> H. Kragh, [https://arxiv.org/pdf/1111.4623.pdf ''Preludes to dark energy: Zero-point energy and vacuum speculations''], arXiv:1111.4623.</ref>