Redigerer Landés g-faktor (avsnitt)

==Atom med mange elektroner==

På grunn av [[Paulis eksklusjonsprinsipp]] vil [[elektronskall|lukkete skall]] med elektroner i et atom ikke bidra til dets totale spinn. Det skyldes bare elektroner i ikke-fulle skall og da ofte [[valenselektron]]ene. Hvert slikt elektron vil ha en dreieimpuls '''L'''<sub>''i''</sub>&thinsp; og et indre spinn  '''S'''<sub>''i''</sub>. Mellom elektronene virker ikke-sentrale [[Coulombs lov|Coulomb-krefter]] som resulterer i koblinger mellom alle disse spinnene. Også [[spinn-banekobling]]en har sin opprinnelse her. Resultatet er at de individuelle spinnene til de enkelte elektroner generelt ikke er bevarte. Men for de atomene hvor spinn-bane-koblingen er liten i forhold til de andre effektene, vil den totale dreieimpulsen {{nowrap|'''L''' {{=}} &sum;'''L'''<sub>''i''</sub>&thinsp;}} og det totale, intrinsikke spinnet  {{nowrap|'''S''' {{=}} &sum;'''S'''<sub>''i''</sub>&thinsp;}} til elektronene være konstante og benyttes til å klassifisere egentilstandene til atomet. Dette gjelder for de atomer hvor ladningstallet ''Z''  < 40. Vekselvirkning mellom elektronene sies da å være beskrevet ved en [[spinn-bane-koblinge|Russell-Saunders-kobling]] eller «''LS''-kobling». Det totale spinnet til atomet er da

: <math> \mathbf{J} =  \mathbf{L} +  \mathbf{S} = \sum_i (\mathbf{L}_i + \mathbf{S}_i) </math>

med tilstander <math> |J,M\rangle</math> der kvantetallet ''J&thinsp;'' angir egenverdien {{nowrap| ''J''(''J'' + 1)''ħ''<sup>2</sup>}} for '''J'''<sup>2</sup> og ''Mħ'' er egenverdien for ''J<sub>z</sub>''. Disse kan konstrueres ved hjelp av Clebsch-Gordan-koeffisienter fra egentilstandene <math> |L,S;M_L,M_S\rangle </math> med tilsvarende egenverdier for  '''L'''<sup>2</sup>, '''S'''<sup>2</sup>, ''L<sub>z</sub>&thinsp;'' og ''S<sub>z</sub>&thinsp;'' på helt analogt vis med det tidligere tilfellet for et elektron der ''S'' = 1/2. For et odde antall elektroner er ''S'' alltid halvtallig, mens dette kvantetallet er heltallig for et like antall elektroner. Når ''L'' > ''S'', vil ''J&thinsp;'' ta 2''S'' + 1&thinsp; ekvidistante verdier fra {{nowrap|''L + S&thinsp;''}} til {{nowrap|''L - S''}}, mens for ''S'' > ''L'' vil man ha tilsvarende 2''L'' + 1&thinsp; verdier fra {{nowrap|''S + L&thinsp;''}} til {{nowrap|''S - L''}}.<ref name = Schwabl/>

Det magnetiske momentet til et slikt atom er gitt som matriseelementet av operatoren

: <math> \boldsymbol{\mu} = - {e\over 2m_e} (\mathbf{L} + 2\mathbf{S}) </math>

som er definert til å være proporsjonalt med ''g''&thinsp;'''J'''.  Dermed kan ''g''-faktoren nå beregnes på tilsvarende måte som for ''S'' = 1/2. Mest direkte følger resultatet ved å multiplisere begge sider av definisjonen {{nowrap|''g''&thinsp;'''J''' {{=}} '''L''' + 2'''S'''&thinsp;}} med operatoren  '''J'''. Det gir 

: <math> g\mathbf{J}^2 = (\mathbf{L} + 2\mathbf{S})\cdot \mathbf{J} = \mathbf{J}^2 + \mathbf{J}\cdot\mathbf{S} </math>

der igjen 2'''J'''&sdot;'''S''' =  '''J'''<sup>2</sup>  + '''S'''<sup>2</sup> - '''L'''<sup>2</sup>. Dermed har man det generelle resultat for Landés g-faktor

: <math> g_J =  1 + \frac{\,J(J+1) + S(S+1) - L(L +1)}{2J(J+1)} </math>

for et atomet hvor elektronene er ''LS''-koblet til et totalt spinn gitt ved kvantetallet ''J''.

For spinn-dubletten ''S'' = 1/2, kan formelen forenkles. Det skjer også for spinn-tripletter ''S'' = 1 der ''J'' = ''L'' + 1, ''L'' og ''L'' - 1. Da gir den

: <math>\begin{align} g_{J = L+1} &= 1  + {1\over L+1} \\  g_{J=L} &= 1 + {1\over L} - {1\over L+1}\\ g_{J = L-1} &= 1 - {1\over L} \end{align} </math>

For D-tilstander som har ''L'' = 2, er derfor verdiene ''g''<sub>3</sub> = 4/3, ''g''<sub>2</sub>  = 7/6 og ''g''<sub>1</sub>  = 1/2. Summen av dem er lik med 3 = 2''S'' + 1. Dette viser seg å være tilfelle også for andre verdier av ''S'' og ''L'' så lenge som ''S'' < ''L''. Dette er et eksempel på en mer generell «summeregel».