Redigerer Kvantisert dreieimpuls (avsnitt)

===Normering===

Praktiske beregninger med kvantisert dreieimpuls er enklere når egenvektorene har en bestemt normering. Da de står [[vinkelrett|ortogonalt]] på hverandre i [[Hilbert-rom]]met, velges denne vanligvis å være

: <math> \langle j,m |j',m' \rangle = \delta_{jj'}\delta_{mm'} </math>

Vektorene sies da å være ''ortonormerte''. Virkningen av en heveoperator kan skrives som <math> \hat{L}_+ |j,m \rangle = N_{jm}|j, m + 1 \rangle </math> hvor koeffisienten <math> N_{jm} </math> sørger for at normeringen blir opprettholdt under operasjonen. Den kan bestemmes fra normeringsbetingelsen som betyr at <math> |N_{jm}|^2 = \langle j, m |\hat{L}_-\hat{L}_+ |j, m \rangle .</math> Ved å benytte det tidligere resultatet for produktet av de to stigeoperatorene, er dens absolutte størrelse gitt. Sammen med en  tilsvarende betraktning rundt virkningen av en senkeoperator, har man dermed at

: <math> \hat{L}_\pm |j, m\rangle = \hbar\sqrt{j(j + 1) - m(m \pm 1)} \,|j, m \pm 1 \rangle </math>

når man velger det positive fortegnet for kvadratroten.

Kombinert med den tilsvarende virkningen av <math> \hat{L}_z </math> på den samme egenvektoren, kan man nå representere disse tre operatorene ved [[matrise]]r med komponenter

: <math> (L_a)_{mm'} = \langle j,m |\hat{L}_a |j,m' \rangle </math>

Hver slik matrise vil ha en dimensjon (2''j'' + 1)&thinsp;&times;&thinsp;(2''j'' + 1). I det enkleste tilfellet er ''j'' = 1/2 hvor de kan uttrykkes ved 2&thinsp;&times;&thinsp;2 [[Pauli-matrise]]r. For ''j'' = 1 finner man

: <math>  {L}_x = {\hbar\over \sqrt{2}}  \begin{pmatrix} 0 & 1& 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},\quad  {L}_y = {\hbar\over \sqrt{2}}  \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix}, </math>

mens <math> L_z </math> er en diagonal matrise med egenverdiene +''ħ'', 0, -''ħ'' langs denne. I dette spesielle tilfellet kan de samme matrisene finnes fra klassiske rotasjoner av en vanlig vektor i det tredimensjonale rommet.<ref name = Abers> E.S. Abers, ''Quantum Mechanics'', Pearson Education, New Jersey (2004). ISBN 0-13-146100-1. </ref>