Redigerer Hydrogenatom (avsnitt)

===Kvantiserte baner===
[[Fil:Hydrogen energy levels.png|thumb|400px|Energinivå i H-atomet etter Bohr-Sommerfeld- kvantisering. Hvert nivå er degenerert da energien er uavhengig av kvantetallet ℓ = ''k'' - 1 som angir formen til ellipsen som elektronet følger.]]
Kvantetallene ''n<sub>&phi;</sub>''&thinsp; og ''n<sub>r</sub>''&thinsp; angir størrelsen og formen til de tillatte banene. Den følger fra største og minste avstand som elektronet har fra atomkjernen og er definert ved at {{nowrap|''p<sub>r</sub>'' {{=}} 0.}} Disse radiene er henholdsvis ''r<sub>max</sub>&thinsp;'' og ''r<sub>min</sub>&thinsp;'' og kan finnes som de to løsningene av [[andregradsligning]]en

: <math> 2m_e Er^2  +  {Ze^2 m_e r\over 2\pi\varepsilon_0} = (k\hbar)^2 </math>

etter å ha satt det asimutale kvantetallet til Sommerfeld ''n<sub>&phi;</sub>'' = ''k&thinsp;'' i den notasjon som Bohr gjorde bruk av.<ref name = Pais/> 

Ved å benytte den geometriske sammenhengen ''r<sub>min</sub>'' + ''r<sub>max</sub>'' = 2''a'', har man da for den store halvaksen i ellipsen

: <math> a = n^2 {a_0\over Z} </math>

hvor ''a''<sub>0</sub>&thinsp; er Bohr-radiusen. Denne aksen avhenger kun av hovedkvantetallet ''n''. Størrelsen av ellipsen avtar som ventet med økende kjerneladning ''Z'' da elektronet da vil bli trukket sterkere inn mot den.

På samme måte kan den mindre halvakse ''b'' finnes. Er ''c'' avstanden fra atomkjernen til sentrum i ellipsen, vil {{nowrap|''b''<sup>&thinsp;2</sup> {{=}}  ''a''<sup>&thinsp;2</sup> -  ''c''<sup>&thinsp;2</sup>}} = {{nowrap|(''a'' - ''c'')&sdot; (''a'' + ''c'') {{=}}  ''r<sub>min</sub>''&sdot; ''r<sub>max</sub>''.}} Dette produktet kan igjen leses direkte ut av ligningen og gir

: <math> b = {k\over n}a </math>

Nå er hovedkvantetallet ''n'' = ''n<sub>r</sub>'' + ''k'' slik at sirkulære baner der ''b'' = ''a'', vil ha en maksimal verdi ''k'' = ''n&thinsp;'' for det asimutale kvantetallet. Det betyr igjen at  {{nowrap|''n<sub>r</sub>'' {{=}} 0&thinsp;}} for disse banene. Da {{nowrap|''n'' &ge; 1}}, må derfor også {{nowrap|''k'' &ge; 1}}. 

[[Fil:Grotrian_H.svg|left|thumb|400px|Diagram som viser noen overganger i hydrogenatomet som er i overensstemmelse med Bohrs utvalgsregel &Delta;ℓ {{=}} &plusmn;1.]]
Betegnes de tillatte banene med kvantetallene (''n,k''), tilsvarer det laveste energinivået den sirkulære banen (1,1). Det nest laveste nivået ''n'' = 2, vil da oppstå i de to banene (2,2) og (2,1) hvorav den første er en sirkel og den andre en ellipse. Dette nivået er derfor degenerert. Slik fortsetter det videre i de høyere nivåene med en stadig økende degenerasjon.

Hvis ''k'' = 0 hadde vært tillatt, ville det ha tilsvart at elektronet beveget seg uten dreieimpuls på en rette linje gjennom atomkjernen. I denne halv-klassiske modellen var dette antatt å være umulig. Men i moderne [[kvantemekanikk]] er dreieimpulsen gitt ved det orbitale kvantetallet {{nowrap|ℓ {{=}} ''k'' - 1}} som kan ha verdien {{nowrap|ℓ {{=}} 0}}. I et klassiske bilde betyr det at elektronet da likevel har en mulighet til å gå inn i kjernen til atomet.<ref name = Sommerfeld/> 

Ut fra historiske grunner er det vanlig å kalle tilstander med ℓ = 0 for ''s''-tilstander, ℓ = 1 for ''p''-tilstander, ℓ = 2 for ''d''-tilstander og så videre som brukt i dag ved omtale av kvantememekaniske tilstander i hydrogenatomet.<ref name = HW/>

Ut fra sitt  [[Bohrs atommodell#Bohrs postulater|korrespondanseprinsipp]] hadde Bohr utledet at ikke alle overganger mellom disse nye energinivåene var tillatt. Et elektron kunne fremdeles «hoppe» fra et nivå med hovedkvantetall ''n'' til et vilkårlig annet nivå med mindre verdi av dette, men de linjene med minst forandring {{nowrap|&Delta;''n'' &ge; 1 vil}} være de lyssterkeste. Derimot kan de orbital kvantetallet bare forandre seg i stepp {{nowrap|&Delta;ℓ {{=}} &plusmn;1}}. Dette er et eksempel på en '''utvalgsregel'''. For eksempel, så kan derfor Lyman-alfalinjen bare fremkomme på den ene måte {{nowrap|2p &rarr; 1s}}, mens den første Balmer-linjen H<sub>&alpha;</sub> kan oppstå på de tre måtene {{nowrap|3p &rarr; 2s}}, {{nowrap|3d &rarr;2p}} og {{nowrap|3s &rarr; 2p}}. Den består derfor av tre sammenfallende linjer i denne beskrivelsen. Men dette var i konflikt med meget presise observasjoner som [[Albert Abraham Michelson|Albert Michelson]] hadde gjort allerede i 1887 og som viste at linjen i virkeligheten besto av to linjer som lå like ved siden av hverandre.