Redigerer Hilbert-rom (avsnitt)

=== Kvadratintegrerbare funksjoner ===
La <math>(X, \mathcal{A}, \mu) </math> være et [[målrom]]. Man definerer rommet av kvadratintegrerbare funksjoner ved 

<math>\mathcal{L}^2(X, \mathcal{A}, \mu) = \bigg\{ f \colon X \to \mathbb{C} : f \text{ er } \mathcal{A}\text{-målbar og } \int_X |f|^2 \, d\mu < \infty \bigg\}. </math>

Man kan forsøksvis definere et indreprodukt på <math>\mathcal{L}^2(X, \mathcal{A}, \mu) </math> ved <math>\langle f, g \rangle = \int_X fg \, d \mu </math>, men denne funksjonen tilfredsstiller generelt ikke punkt 1 i definisjonen ovenfor da funksjoner som er 0 bortsett fra på en mengde av mål 0 vil få norm 0. Løsningen er å identifisere funksjoner som er like bortsett fra på en mengde av mål 0 og i steden studere det tilsvarende vektorrommet av ekvivalensklasser av funksjoner. Dette gjøres som følger: Definer en [[ekvivalensrelasjon]] <math>\sim </math> på <math>\mathcal{L}^2(X, \mathcal{A}, \mu) </math> ved 

<math>f \sim g  \iff \mu( \{ x \in X : f(x) \neq g(x) \}) = 0 \quad \text{for alle } f, g \in \mathcal{L}^2(X, \mathcal{A}, \mu).  </math>

For <math>f \in \mathcal{L}^2(X, \mathcal{A}, \mu) </math> lar vi <math>[f] </math> betegne ekvivalensklassen til <math>f </math>. Vi skriver <math>L^2(X, \mathcal{A}, \mu) = \{[f] : f \in \mathcal{L}^2(X, \mathcal{A}, \mu) \} </math>for mengden av slike, som arver en vektorromssstruktur fra <math>\mathcal{L}^2(X, \mathcal{A}, \mu) </math>. Vi kan nå definere et indreprodukt på <math>L^2(X, \mathcal{A}, \mu ) </math> ved <math>\langle [f], [g] \rangle = \int_X fg \, d \mu </math> for <math>[f], [g] \in L^2(X, \mathcal{A}, \mu). </math>Riesz-Fischer-teoremet sier at dette rommet er komplett med hensyn på den induserte normen og således er et Hilbert-rom. Merk at forrige eksempel er et spesialtilfelle av denne konstruksjonen der det relevante målrommet er <math>\mathbb{N} </math> med [[Σ-algebra|<math>\sigma </math>-algebraen]] bestående av alle delmengder og tellemålet.