Redigerer Hamilton-operator (avsnitt)

==Skalart kvantefelt==

På samme måte som Lagrange-funksjonen for et [[felt (fysikk)|felt]] finnes fra en [[Hamiltons virkningsprinsipp#Kontinuerlig system|Lagrange-tetthet]], vil Hamilton-funksjonen til feltet være gitt ved en tilsvarende Hamilton-tetthet. Et [[skalarfelt]] ''&phi;'' = ''&phi;''('''x''',''t'') for [[boson]]er med spinn ''s'' = 0 er gitt ved [[Klein-Gordon-ligning]]en. Den følger fra Lagrange-tettheten

: <math> {\mathcal L}  = {\hbar^2\over 2c^2}\Big({\partial\phi\over\partial t}\Big)^2 - {\hbar^2\over 2}(\boldsymbol{\nabla}\phi)^2 - {1\over 2}m^2c^2\phi^2 </math>

der ''m&thinsp;'' er massen til partiklene. Feltet kan [[kvantefeltteori|kvantiseres]] ved bruk av den kanonisk konjugerte feltimpulsen <ref name = Goldstein>H. Goldstein, ''Classical Mechanics'', Addidon-Wesley Publishing Company, Reading, Massachusetts (1959).</ref>

: <math> \Pi = {\partial{\mathcal L}\over\partial\dot{\phi}} = {\hbar^2\over c^2}\dot{\phi} </math> 

når man skriver <math> \dot{\phi} = \partial\phi/\partial t .</math> Hamilton-tettheten til feltet er nå som alltid definert ved

: <math> \begin{align} {\mathcal H} &= \dot{\phi}\Pi - {\mathcal L} \\ &= {c^2\over 2\hbar^2}\Pi^2 + {\hbar^2\over 2}(\boldsymbol{\nabla}\phi)^2 + {1\over 2}m^2c^2\phi^2 \end{align} </math>

Den er et uttrykk for den klassiske energitettheten som feltet har i det tredimensjonale rommet. Dets Hamilton-funksjon er dermed gitt ved det romlige integralet

: <math> H = \int\!d^3x\, {\mathcal H}(\phi,\Pi) </math>

Herav finnes Hamilton-operatoren ved å la de to dynamiske variable bli kvantiserte operatorer <math> \phi \rightarrow \hat{\phi} </math> og <math> \Pi \rightarrow \hat{\Pi}. </math> Kvantiseringen må da være i overensstemmelse med den kanoniske kommutatoren

: <math> [\hat{\phi}(\mathbf{x},t), \hat{\Pi}(\mathbf{x'},t)] = i\hbar\delta(\mathbf{x} - \mathbf{x}') </math>

hvor [[Diracs deltafunksjon]] inngår på høyre side.<ref name = Gross/>

===Feltmoder===

Partiklene som feltet beskriver, opptrer som [[kvant]] ved kvantiseringen. Dette kommer mest direkte frem ved å utvikle det klassiske feltet i [[Fourier-transformasjon|Fourier-moder]]. I praksis betyr det å kvantisere feltet når det befinner seg i en kubisk boks med volum {{nowrap|''V'' {{=}} ''L''<sup>3</sup>}} og benytte periodiske grensebetingelser. Da kan man skrive

: <math> \phi(\mathbf{x},t) = {c\over\hbar}\sqrt{1\over V}\sum_\mathbf{k}\phi_\mathbf{k}(t) e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}} </math>

hvor hver komponent av [[bølge]]vektoren '''k''' er et heltallig multiplum av 2''&pi;''&thinsp;/''L''. Fourier-komponentene ''&phi;''<sub>'''k'''</sub> er [[Komplekst tall|komplekse]], men oppfyller {{nowrap|''&phi;''<sub>'''k'''</sub>* {{=}} ''&phi;''<sub>-'''k'''</sub>}} da skalarfeltet ''&phi;''('''x''',''t'') er reelt.<ref name = TDL>T.D. Lee, ''Particle Physics and Introduction to Field Theory'', World Scientific, Singapore (1988). ISBN 3-7186-0033-1.</ref>

Ved nå å benytte integralet

: <math> \int\! d^3x\, e^{i(\mathbf{k} - \mathbf{k}')\cdot\mathbf{x}} = V\delta_{\mathbf{k}\mathbf{k}'} </math>

kan Lagrange-funksjonen til feltetskrives på den nye formen

: <math> L = \int\!d^3x\, {\mathcal L} =  {1\over 2} \sum_\mathbf{k}(\dot{\phi}_\mathbf{k}\dot{\phi}_\mathbf{k}^*  - \omega_\mathbf{k}^2{\phi}_\mathbf{k}{\phi}_\mathbf{k}^*) </math>

hvor

: <math> \omega_\mathbf{k}^2 = k^2c^2 + m^2c^4/\hbar^2 </math>

Det frie skalarfeltet er derfor ekvivalent med en uendelig sum av todimensjonale, [[harmonisk oscillator|harmoniske oscillatorer]] karakterisert ved bølgevektoren '''k''' og med vinkelfrekvens ''&omega;''<sub>'''k'''</sub>. Kvantisering av feltet følger da fra [[Kvantisert harmonisk oscillator|kvantiseringen av en oscillator]].<ref name = TDL/>

===Kvantisering===
Fourier-komponenten til den konjugerte feltimpulsen blir nå

: <math> \Pi_\mathbf{k} = {\partial L\over\partial\dot{\phi}_\mathbf{k}} = \dot{\phi}_\mathbf{k}^* = \dot{\phi}_{-\mathbf{k}} </math>

Når disse komponentene blir kvantemekaniske operatorer, tar den kanoniske kommutatoren den enklere formen

: <math> [\hat{\phi}_\mathbf{k}, \hat{\Pi}_{\mathbf{k}'}] = i\hbar\delta_{\mathbf{k}\mathbf{k}'} </math>

Den kan gjøres mer anvendelig ved å innføre [[Stigeoperator|kreasjons- og annhilasjonsoperatorer]] ved å definere dem ved

: <math> \hat{\phi}_\mathbf{k} = \sqrt{\hbar\over 2\omega_\mathbf{k}}\left(\hat{a}_\mathbf{k} +  \hat{a}_{-\mathbf{k}}^\dagger \right) </math>
: <math> \hat{\Pi}_\mathbf{k} = i\sqrt{\hbar\omega_\mathbf{k}\over 2}\left(\hat{a}_\mathbf{k}^\dagger -  \hat{a}_{-\mathbf{k}} \right) </math>

når de oppfyller den fundamentale kommutatoren

: <math> [\hat{a}_\mathbf{k}, \hat{a}_{\mathbf{k}'}^\dagger] = \delta_{\mathbf{k}\mathbf{k}'} </math>

Hamilton-operatoren til feltet er nå en sum over Hamilton-operatorene til hver harmonisk feltmode,<ref name = TDL/>

: <math> \hat{H} =  \sum_\mathbf{k} \hbar\omega_\mathbf{k} (\hat{a}_\mathbf{k}^\dagger \hat{a}_\mathbf{k} + 1/2) </math>

Den viser at et kvant med bølgetallet '''k''' har en energi som er

: <math> E_\mathbf{k} =  \hbar\omega_\mathbf{k} = \sqrt{\hbar^2 k^2c^2 + m^2c^4} </math>

Det er derfor en relativistisk partikkel med impuls '''p''' = ''ħ''&thinsp;'''k''' og masse ''m''.

Da [[Kvantisert harmonisk oscillator#Nullpunktsenergi|nullpunktsenergien]] til hver mode av feltet er positiv, betyr denne Hamilton-operatoren at også det tomme rom ser ut til å ha en uendelig stor energi. Det kan betraktes som et problem med denne kvantiseringen. Men likevel kan denne konsekvensen under bestemte forhold påvises eksperimentelt og omtales da som en [[Casimir-effekt]] etter oppdageren.<ref name = Milton> K.A. Milton, ''The Casimir Effect: Physical Manifestations of Zero-point Energy'', World Scientific, Singapore (2001). ISBN 978-981-02-4397-5.</ref>

Ved bruk av Hamilton-operatoren kan nå kvantefeltoperatoren beregnes i [[Kvantemekanikk#Tidsutvikling og Heisenberg-bilde|Heisenberg-bildet]] ved et vilkårlig tidspunkt med resultatet

: <math> \begin{align} & \hat{\phi}(\mathbf{x},t) = e^{i\hat{H}t/\hbar} \hat{\phi}(\mathbf{x}, 0)\, e^{-i\hat{H}t/\hbar} \\ &= c \sum_\mathbf{k} \sqrt{1\over 2\hbar\omega_\mathbf{k} V}\left(\hat{a}_\mathbf{k} e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x} - \omega_\mathbf{k} t)}  + \hat{a}_\mathbf{k}^\dagger e^{-i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x} - \omega_\mathbf{k} t)} \right)\end{align} </math>

Det uttrykker matematisk den fundamentale [[bølge–partikkel-dualitet]] som er det essensielle innhold av alle kvantefeltteorier. Vanligvis benytter man [[Måleenhet#Naturlige enheter|naturlige enheter]] med {{nowrap|''ħ'' {{=}} ''c''}} = 1 i denne beskrivelsen slik at de matematiske uttrykkene blir enklere.<ref name = Gross/>