Redigerer Gnomonisk projeksjon (avsnitt)

===Geodetiske linjer===
Den gnomiske projeksjonen tilsvarer en koordinattransformasjon hvor den [[metrisk tensor|metriske tensoren]] til sfæren har fått formen

: <math> g_{\mu\nu} = {R^2\over R^2 + r^2}\Big[\delta_{\mu\nu} - {x_\mu x_\nu\over R^2 + r^2}\Big] </math>

der ''x<sub>&mu;</sub>'' er komponentene til vektoren '''r''' = (''x,y''). De kontravariante komponentene ''g<sup>&mu;&nu;</sup>'' av tensoren finnes fra den inverse matrisen bestående av de kovariante komponentene ''g<sub>&mu;&nu;</sub>'' og er

: <math> g^{\mu\nu} = \Big(1 + {r^2\over R^2}\Big)\Big[\delta^{\mu\nu} + {x^\mu x^\nu\over R^2}\Big] </math>

De kontravariante komponentene ''x<sup>&mu;</sup>'' er de samme som de kovarante ''x<sub>&mu;</sub>'' da metrikken på kartet er euklidsk og gitt ved [[Kronecker-delta]]et ''&delta;<sub>&mu;&nu;</sub>''. 

Geodetisk linjer på kulen kan nå finnes fra den [[Geodetisk kurve#Geodetisk ligning|geodetiske ligningen]] i denne projiserte metrikken. Den inneholder [[Geodetisk kurve#Geodetisk ligning|Christoffel-symbolene]] som nå kan beregnes fra den metriske tensoren. De kan sammenfattes i formelen

: <math> \Gamma^\lambda_{\;\mu\nu} = {-1\over R^2 + r^2}\Big(\delta^\lambda_\mu x_\nu + \delta^\lambda_\nu x_\mu \Big) </math>

Men det er akkurat Christoffel-symbol med denne formen som resulterer i at de geodetiske kurvene er rette linjer. Det viser at den differensielle geometrien dermed bekrefter at de tilsvarer storsirkler på sfæren. Av samme grunn vil derfor også de geodetiske kurvene for det hyperbolske planet være rette linjer i Beltrami-Klein-metrikken.<ref name = Kreyszig/>