Redigerer Ellipse (avsnitt)

== Standardform i kartesiske koordinater ==

En standardform for ellipsen, også kalt en kanoniske form, er en ligning for de kartesiske koordinatene <math>(x,y)</math> som framkommer når <math>x</math>-aksen defineres langs ellipseaksen,
<math>y</math>-aksen defineres parallelt med styrelinjen og [[origo]] velges i sentrum av ellipsen:<ref name=LAW1/>

:<math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1</math>

Ligningen har to parametre, lengdene <math>a</math> og <math>b</math> av de to ''halvaksene''.  Orientering av ellipsen er vanligvis valgt slik at <math>a \ge b</math>, og <math>a</math> er da 
lengden av den ''store'' halvaksen og <math>b</math> lengden av den ''lille'' halvaksen.  Når <math>a = b</math> framstiller ligningen en sirkel.

Standardformen kan utledes fra polarformen, ved å bruke sammenhengen mellom polarkoordinatene og de kartesiske koordinatene:

:<math>
\begin{alignat}{2}
 x &= r \cos \theta - ae \\
 y &= r \sin \theta \\
 r^2 &= (x + ae)^2 + y^2 \\
\end{alignat}
</math>

Som vist i avsnittet om polarformen ligger brennpunktene i avstand <math>ae</math> fra origo.  Styrelinjene ligger i avstanden <math>a/e</math> fra origo.  Eksentrisiteten er gitt fra
ligningskoeffisientene ved

:<math>e = \sqrt{\frac{a^2 - b^2}{a^2}}</math>.

Standardformen med origo i toppunktet kan skrives som en [[parameterfremstilling|parameterframstilling]] på formen

:<math>x(t) = a \cos t  \qquad   y(t) = b \sin t  \qquad  t \in [0, 2\pi) </math>

En alternativ kanonisk form framkommer ved å legge origo i det ene brennpunktet:<ref name=LAW1/>

: <math> {(x - ea)^2\over a^2} + {y^2\over b^2} = 1 </math>