Redigerer Ekvipartisjonsprinsipp (avsnitt)

==Generelt teorem==

Det opprinnelige ekvipartisjonsteorem ble gitt en formell utvidelse av [[Richard Tolman]] i 1918. Da det gjelder også for partikler med vilkårlige vekselvirkninger, gir det ikke alltid en oppdeling av totalenergien i forskjellige bidrag.  Av den grunn er det mindre grunn å kalle det et utvidet ekvipartisjonsteorem. I stedet er det en alternativ formulering av [[virialteoremet]].<ref name = Huang> K. Huang, ''Statistical  Mechanics'', John Wiley & Sons, New York (1987). ISBN 0-471-85913-3.</ref>

For et system som er beskrevet ved en [[Hamilton-mekanikk|Hamilton-funksjon]] ''H'' = ''H''(''q,p'') hvor man betegner de kanoniske koordinatene ''q&thinsp;'' og ''p&thinsp;'' som ''x'', sier dette generelle teoremet at

: <math> \left\langle x_m \frac{\partial H}{\partial x_n} \right\rangle = \delta_{mn} k_B T.</math>

Her er ''x<sub>m</sub>&thinsp;'' og ''x<sub>n</sub>&thinsp;'' komponenter til koordinaten ''x'', mens ''&delta;<sub>mn</sub>&thinsp;'' på høyre side er [[Kronecker-delta|Kroneckers deltasymbol]]. Det har verdien 1 når ''m'' = ''n&thinsp;'' og 0 ellers. Herav ser man direkte at hvis komponenten ''x<sub>m</sub>&thinsp;''  opptrer kvadratisk i Hamillton-funksjonen slik at ''H'' = ''ax''<sub>''m''</sub><sup>2</sup> + ,,,, , så vil

: <math> \left\langle a x_m^2 \right\rangle = {1\over 2} k_BT </math>

i overensstemmellse med det opprinnelige teoremet.

===Bevis===

Det generelle teoremet kan vises på forskjellige måter. I det  [[Kanonisk ensemble|kanonsike ensemblet]] er den aktuelle middelverdien for ''N&thinsp;'' partikler gitt ved

: <math>\begin{align} \left\langle x_m \frac{\partial H}{\partial x_n} \right\rangle &= {1\over Z} \int\! {dp dq\over h^{3N}} x_m \frac{\partial H}{\partial x_n} e^{-\beta H(p,q)} \\ &=  {1\over \beta Z} \delta_{mn} \int\! {dp dq\over h^{3N}}e^{-\beta H(p,q)} \end{align} </math>

som finnes etter en partiell integrasjon over koordinaten ''x<sub>n</sub>&thinsp;'' der randleddet fra overflaten til systemet kan neglisjeres. Da partisjonsfunksjonen ''Z&thinsp;''  er definert som

: <math> Z = \int\! {dp dq\over h^{3N}}e^{-\beta H(p,q)}, </math>

blir middelverdien ganske enkelt 1/''&beta;'' = ''k<sub>B</sub>T'' som er det søkte resultat når {{nowrap|''m'' {{=}} ''n''&thinsp;}} og null ellers.<ref name = Huang/>

===Virialteorem===
Hvis ''p<sub>k</sub>&thinsp;'' er den konjugerte impulsen til en partikkel med koordinaten ''p<sub>k</sub>'', er disse to variable forbundet ved [[Hamilton-mekanikk#Hamiltons ligninger|Hamiltons ligning]]

: <math>  - {\partial H\over \partial q_k} = {dp_k\over dt} = F_k </math>

hvor ''F<sub>k</sub>&thinsp;'' er den tilsvarende komponenten av kraften som virker på partikkelen. Det generaliserte teoremet sier nå at

: <math>   k_B T = \left\langle q_k \frac{\partial H}{\partial q_k} \right\rangle = -  \left\langle q_k F_k \right\rangle  </math>

Da den [[Kinetisk energi|kinetiske energien]] 

: <math> K = \sum_{k=1}^{3N} {p_k^2\over 2m} </math>

er kvadratisk i hvert ledd, er dens middelverdi <math> \langle K \rangle = (3N/2) k_B T. </math> Ved å summere utsagnet til det generelle teoremet over alle komponentene til partiklenes koordinater, har man dermed

: <math>\begin{align}  2\langle K \rangle &= - \sum_{k=1}^{3N} \left\langle q_k F_k \right\rangle \\ &= - \sum_{a=1}^N \left\langle \mathbf{r}_a\cdot  \mathbf{F}_a \right\rangle\end{align} </math>

Dette er [[virialteoremet]] når man beskriver partiklenes posisjoner med [[Kartesisk koordinatsystem|kartesiske koordinater]]. Herav kan man utledet [[tilstandsligning]]en for en reell gass med partikler som vekselvirker med hverandre.