Redigerer Variasjonsregning (avsnitt)

== Bibetingelser==

I noen variasjonsproblem er den søkte funksjonen  ''y(x)'' man skal finne, ikke helt fri. Den skal oppfylle visse føringer eller bibetingelser. De tilsvarende variasjonene ''&delta;y'' vil derfor ikke være helt uavhengig av hverandre. Denne komplikasjonen ble behandlet av [[Euler]] og [[Lagrange]] allerede i deres første arbeider med variasjonsregningen. I ettertiden er det spesielt metoden med [[Lagrange-multiplikator]] som har vist seg meget nyttig.

Det er to hovedtyper av bibetingelser. Den vanligste kan skrives på integralform av samme form som funksjonalen som skal ekstremaliseres,

:<math> \int_{x_A}^{x_B} \!dx\, G(y,\dot{y},x)  = 0 </math>

hvor integranden er en eller annen gitt funksjon. Da betingelsen er gitt ved et integral over et visst område, er dette en ''global'' bibetingelse. Man kan enklest ta hensyn til denne ved å diskretisere det gitte variasjonsproblemet samt dette ekstra integralet. Det blir da ekvivalent med et vanlig ekstremaliseringsproblem av en funksjon med mange variable. Metoden med en [[Lagrange-multiplikator]] kan da benyttes. Da finnes løsningen ved å variere den modifiserte funksjonalen

:<math> I^* = \int_{x_A}^{x_B} \!dx F^*(y,\dot{y},x) </math>

hvor nå

: <math>  F^*(y,\dot{y},x) =  F(y,\dot{y},x) + \lambda G(y,\dot{y},x) </math>

Her kan nå den ukjente variable ''y'' varieres fritt og ekstremalverdien er gitt som løsningen av Euler-Lagrange-ligningen med  ''F<sup>&thinsp;*</sup>'' i stedet for ''F''. Den vil i utgangspunktet inneholde den ukjente konstanten &lambda;. Men den kan så bestemmes ved å sette inn løsningen i den opprinnelige bibetingelsen.<ref name = Elsgolc> L.E. Elsgolc, ''Calculus of Variations'', Addison-Wesley Publishing Company, New York (1961).</ref>

Den andre typen av bibetingelse er av formen

:<math> G(y,\dot{y},x)  = 0 </math>

og må være oppfylt i hvert punkt ''x''. Den sies derfor å være ''lokal''. Når variajonsproblemet i dette tilfellet diskretiseres, vil betingelsen derfor gi opphav til et stort antall betingelser, gyldig i hvert diskret punkt. Hver slik bibetingelse vil da få sin egen [[Lagrange-multiplikator]]. Den modifiserte funksjonalen som skal ekstremaliseres, vil dermed inneholde en sum over alle disse diskrete betingelsene. Går man så tilbake til den kontinuerlige beskrivelsen, vil denne summen gå over til et integral som inneholder en variabel Lagrange-multiplikator &lambda;(''x''). Den modifiserte funksjonalen vil i dette tilfellet dermed bli

: <math>  F^*(y,\dot{y},x) =  F(y,\dot{y},x) + \lambda(x) G(y,\dot{y},x) </math>

Betrakter man &lambda;(''x'') som en variabel, vil nå variasjonen av den gi den lokale bibetingelsen. Igjen må den ukjente funksjonen &lambda;(''x'') til slutt bestemmes ved at denne oppfylles. Dette er vanligvis mer vanskelig enn i det første tilfellet.

===Eksempel===
[[Image:circle-optimal.jpg|thumb|right|300px|Den røde linjen som forbinder punktene (-''a'',0) med (''a'',0), avgrenser et maksimalt areal mot ''x''-aksen når den er en sirkelbue med sentrum på den negative ''y''-aksen..]]

La oss tenke oss at vi har et rep med lengde ''L''. Dette repet skal forbinde punktet (-''a'',0)  med punktet  (''a'',0)  i et aksekors med koordinater  (''x,y'') som vist i figuren. La oss anta at dermed er plasseringen av repet beskrevet entydig ved en kurve ''y = y(x)''. For at dette skal være praktisk mulig, må opplagt ''L > 2a''. Spørsmålet nå er å gjøre det på en slik måte at arealet mellom denne kurven og ''x''-aksen er størst mulig. Dette arealet ''A'' er gitt ved integralet

: <math> A = \int_{-a}^a\!dx\, y </math>

og kan i utgangspunktet gjøres så stort man vil. Men samtidig må bibetingelsen at lengden ''L'' av repet er en gitt størrelse, være oppfylt. På samme måte som for beregningen av den geodetiske linje, er lengden gitt ved integralet

: <math>  L =  \int_{-a}^a\!dx\,\sqrt{1 + y'^2} </math>

hvor ''y' = dy/dx''. Dette er en global bibetingelse. For å finne kurven som gir maksimalt areal må vi derfor bruke

: <math> A^* = y + \lambda \sqrt{1 + y'^2} </math>

i Euler-Lagrange-ligningen. Da blir &part;''A<sup>*</sup>/&part;&thinsp;y'' = 1 og &part;''A<sup>*</sup>/&part;&thinsp;y''' = &lambda;''y'/&radic;(1 +y'<sup>&thinsp;2</sup>)'' slik at ligningen tar formen

: <math>  {d\over dx} {\lambda y'\over\sqrt{1 + y'^2}} = 1</math> 

Denne kan direkte integreres med resultatet

: <math>  {\lambda y'\over\sqrt{1 + y'^2}} = x +b </math>

hvor ''b'' er en integrasjonskonstant. Denne må være null utfra symmetrien i problemet. Løser man nå dette resultatet med hensyn på ''y''', finner man lett at

: <math>  {dy\over dx} = - {x\over \sqrt{\lambda^2 - x^2}} </math>

når man tar roten med negativt fortegn. Da den største verdien av ''x'' er ''a'', ser vi at &lambda; > ''a'' for å ha en ikke-triviell løsning. Enda en direkte integrasjon gir nå

: <math>  y + c = \sqrt{\lambda^2 - x^2} </math>

Dette beskriver en sirkelbue med radius &lambda; og med sentrum på ''y''-aksen i ''y = - c''. Denne sirkelbuen forbinder de to gitte punktene  (-''a'',0) og  (''a'',0). De bestemmer verdien av konstanten ''c'' som derfor må ha verdien ''c = &radic;(&lambda;<sup>2</sup> - a<sup>2</sup>''). Verdien av &lambda; finnes ved å sette løsningen inn i integralet som gir repets lengde ''L''. Legg merke til at når ''L = &pi;&thinsp;a'' er sirkelbuens radius &lambda; = ''a'', og den har sentrum i origo. For større verdier av ''L'' gir den komplementære sirkelbuen svaret på spørsmålet.