Redigerer Tolegemeproblem (avsnitt)

==Dreieimpuls==

Den totale [[dreieimpuls]]en av de to partiklene beregnet om [[origo]] til koordinatsystemet, blir

: <math> \mathbf{L}_{tot} = m_1\mathbf{x}_1\times\mathbf{v}_1 +  m_2\mathbf{x}_2\times\mathbf{v}_2  </math>

De to hastighetene kan uttrykkes ved hastigheten '''V''' til messesenteret og den relative hastigheten '''v'''. Innsatt i dreieimpulsen til systemet finner man da

: <math> \mathbf{L}_{tot} = M\mathbf{R}\times\mathbf{V} + m\mathbf{r}\times\mathbf{v} </math>

På denne formen representerer det første leddet dreieimpulsen '''L'''<sub>''CM''</sub>&thinsp; til massesentereret som beveger seg som et fritt legeme. Det siste leddet er dreieimpulsen 

: <math> \mathbf{L} = m\mathbf{r}\times\mathbf{v} </math>

til den relative bevegelsen beregnet ut fra messesenteret. Dermed har man den enkle og viktige sammenhengen {{nowrap|'''L'''<sub>''tot''</sub> {{=}} '''L'''<sub>''CM''</sub> + '''L'''}}. 

Da systemet ikke er påvirket av ytre krefter, er denne totale dreieimpulsen konstant under bevegelsen,

: <math> {d\mathbf{L}_{tot}\over dt} = {d\mathbf{L}_{CM}\over dt} + {d\mathbf{L}\over dt} = 0 </math>

Her er ikke bare summen en konstant størrelse, men hver dreieimpuls i seg selv er  en konstant eller bevart størrelse. For eksempel,

: <math> {d\mathbf{L}\over dt} = m\dot{\mathbf{r}}\times\mathbf{v} + m\mathbf{r}\times\dot{\mathbf{v}} </math>

Men nå er <math> \dot{\mathbf{r}} = \mathbf{v} </math> og  <math> \dot{\mathbf{v}} </math> er proporsjonal med '''r''', slik at begge [[kryssprodukt]]ene her er null og derfor blir ''d''&thinsp;'''L'''/''dt'' = 0. På samme måte er '''L'''<sub>''CM''</sub>&thinsp; konstant da <math> \dot{\mathbf{R}} = \mathbf{V}</math> og <math> \dot{\mathbf{V}} = 0. </math>

Siden den relative dreieimpulsen '''L''' er en bevart vektor, har den en konstant retning i rommet. Da i tillegg {{nowrap|'''r'''&sdot;'''L''' {{=}} 0&thinsp;}} ut fra definisjonen til [[Vektorprodukt#Trippelprodukt|trippelvektorproduktet]], vil bevegelsen til tolegemeproblemet alltid foregå i et plan [[vinkelrett]] på dreieimpulsen '''L'''. I mange praktiske sammenhenger velger man derfor et koordinatsystem hvor partiklene eller legemene beveger seg i et koordinatplan og da vanligvis i ''xy''-planet. Det tilsvarer at den relative dreieimpulsen '''L''' peker langs ''z''-aksen.