Redigerer Schrödinger-ligning (avsnitt)

==Sannsynlighetstetthet==

[[Sannsynlighet]]en for å observere en partikkel beskrevet ved bølgefunksjonen &Psi;(''t'','''x''') i punktet '''x''' ved tiden ''t'', er proporsjonal med det reelle produktet &Psi;*&Psi;. Da partikkelen med sikkerhet må være et eller annet sted, er derfor integralet

: <math> \int\!d^3x\, \Psi^*\!(t,\mathbf{x})\Psi(t,\mathbf{x}) = 1 </math>

Det er derfor naturlig å omtale produktet

: <math> \rho(t,\mathbf{x}) = \Psi^*\!(t,\mathbf{x})\Psi(t,\mathbf{x})  </math>

for en «sannsynlighetstetthet». Midlere eller mest sannsynlige posisjon til partikkelen kan da for eksempel beregnes fra integralet 

: <math> \langle\mathbf{x}\rangle = \int\!d^3x\, \Psi^*\!(t,\mathbf{x})\,\mathbf{x}\, \Psi(t,\mathbf{x}) </math>

som i alminnelighet vil være en funksjon av tiden. Men hvis partikkelen er i en energi-egentilstand, vil tidsavhengigheten kansellere ut. Det er én god grunn for å omtale en slik tilstand som «stasjonær».

Mer generelt er forventningsverdien av en generell variabel ''F''('''x''','''p''') gitt ved

: <math> \langle F(\mathbf{x},\mathbf{p})\rangle = \int\!d^3x\, \Psi^*\!(t,\mathbf{x}) F(\mathbf{x}, -i\hbar\boldsymbol{\nabla}) \Psi(t,\mathbf{x}) </math>

På denne måten kan også midlere energi til partikkelen beregnes i en vilkårlig tilstand ved å finne forventningsverdien til Hamilton-operatoren.

===Sannsynlighetsstrøm===

Tidsvariasjonen til sannsynlighetstettheten ''&rho;'' = &Psi;*&Psi; kan finnes direkte ved [[derivasjon]],

: <math> {\partial\rho\over\partial t} = {\partial\Psi^*\over\partial t}\Psi + \Psi^*{\partial\Psi\over\partial t} </math>
 
Ved bruk av den tidsavhengige Schrödinger-ligningen for &Psi; og også for den komplekskonjugerte bølgefunksjonen &Psi;*, vil dette forenkles. Resultatet kan skrives på formen til en [[kontinuitetsligning]]

: <math> \frac {\partial \rho}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{J} = 0</math>

når man definerer en «sannsynlighetsstrøm» som

: <math> \mathbf{J} =  {\hbar\over 2im}\left(\Psi^*\boldsymbol{\nabla}\Psi - \Psi\boldsymbol{\nabla}\Psi^* \right) </math> 

Denne uttrykker hvordan sannsynligheten for å finne partikkelen forskjellige steder varierer med tiden på en slik måte at den integrerte sannsynlighetstettheten er konstant.<ref name = "BrehmMullin"/>