Redigerer Matrisemekanikk (avsnitt)

===Kvantisering===
Istedenfor å beskrive et [[hydrogenatom]] med denne nye kvantemekanikken, valgte Heisenberg å betrakte et enklere system med en partikkel som beveger seg  kun i én dimensjon under påvirkning av en kraft som i det enkleste tilfellet er [[harmonisk oscillator|harmonisk]]. Den klassiske energien til partikkelen kan dermed skrives som

: <math> E = {1\over 2} p^2 + {1\over 2}\omega^2 x^2  </math>

hvor [[bevegelsesmengde|impulsen]] til partikkelen er gitt ved den tidsderiverte {{nowrap|''p'' {{=}} ''dx''/''dt''}}. Energien er en funksjon av de dynamisk variable ''x&thinsp;'' og ''p&thinsp;'' som kalles [[Hamilton-mekanikk#Hamiltons ligninger|Hamilton-funksjonenen]] ''H''(''x,p'')&thinsp; for partikkelen.

Heisenberg oversatte denne klassiske beskrivelsen til å bestemme de nye, dynamiske variable ''x<sub>mn</sub>''&thinsp; og ''p<sub>mn</sub>''&thinsp; fra 

: <math>  H_{mn} = {1\over 2} (p^2)_{mn} + {1\over 2}\omega^2 (x^2)_{mn} </math>

Selv om begge leddene her på høyre side varierer med tiden, må summen av dem likevel være konstant på grunn av at energien til systemet ikke forandrer seg med tiden. De kvantiserte energiene ''E<sub>n</sub>&thinsp;'' er gitt ved venstre side av ligningen som skal være ''E<sub>n</sub>&thinsp;'' når ''m = n'' og null hvis indeksene er forskjellige. Ved bruk av [[Kronecker-delta|Kroneckers deltasymbol]] kan dette kravet skrives som {{nowrap|''H<sub>mn</sub>'' {{=}} ''E<sub>n</sub>''&thinsp;''&delta;<sub>mn</sub>''&thinsp;}} som nå er et uttrykk for energiens bevarelse.<ref name = BLvdW/>

De kvantemekaniske variable ''x<sub>mn</sub>''&thinsp; og ''p<sub>mn</sub>''&thinsp; er ikke uavhengige av hverandre da

: <math> p_{mn}(t) = {d\over dt} x_{mn}(t) = i\omega_{mn}  x_{mn}(t) </math>

Dette medfører at de er forbundet gjennom de fundamentale kvantiseringsbetingelsene

: <math> \sum_k (x_{nk}p_{kn}  - p_{nk}x_{kn}) = i\hbar </math>

som skal gjelde for alle tilstander karakterisert ved kvantetallet ''n''. Heisenberg kom frem til dem ved bruk av  en [[Dispersjon (optikk)#Thomas-Reiche-Kuhn summeregel|summeregel]] som var blitt oppdaget i forbindelse med [[Dispersjon (optikk)|optisk dispersjon]]. Ved å innsette her ''p<sub>kn</sub>''&thinsp; uttrykt ved ''x<sub>kn</sub>'', tar den formen

: <math>   2\sum_k \omega_{kn}|x_{nk}|^2 = \hbar .</math>

Allerede under oppholdet på Helgoland gikk Heisenberg i gang med å beregne energien til oscillatoren når den i tillegg er under påvirkning av en svak, ikke-harmonisk kraft. I nyere tid er detaljene ved disse mer kompliserte beregningene grundig gjennomgått.<ref name = Aitchson>I.J.R. Aitchison et al, [https://arxiv.org/pdf/quant-ph/0404009.pdf ''Understanding Heisenberg’s ‘magical’ paper of July 1925: A new look at the calculational details''], Am. J. Phys. '''72''', 1370–1379 (2004).</ref>