Redigerer
Logaritme
(avsnitt)
Hopp til navigering
Hopp til søk
Advarsel:
Du er ikke innlogget. IP-adressen din vil bli vist offentlig om du redigerer. Hvis du
logger inn
eller
oppretter en konto
vil redigeringene dine tilskrives brukernavnet ditt, og du vil få flere andre fordeler.
Antispamsjekk.
Ikke
fyll inn dette feltet!
== Egenskaper og regler for logaritmer == :''Utdypende artikkel [[Liste over logaritmeidentiteter]]'' De følgende identitetene gjelder for logaritmer med et vilkårlig grunntall. For å forenkle notasjonen er derfor grunntallet ''b'' utelatt der det ikke er strengt nødvendig. ===Grunnleggende egenskaper === For alle grunntall gjelder det at logaritmen til tallet 1 er lik null: :<math>\log 1 = 0 \, </math> Logaritmen til grunntallet er lik 1: :<math>\log b = 1 \, </math> Logaritmefunksjonen er strengt voksende for grunntall større enn 1 og strengt minkende for grunntall mindre enn 1. ===Første logaritmesetning === : <math>\log(xy) = \log x + \log y \, </math> Logaritmen til et produkt er lik summen av logaritmene til faktorene. Beviset bygger på den følgende identiteten for eksponensialfunksjonen: :<math>b^u \cdot b^v = b^{(u+v)} \, </math> Her er ''u'' og ''v'' vilkårlige tall, så ved å definere :<math>u = \log x \, </math> :<math>v = \log y \, </math> og sette inn i identiten over, så er :<math>b^{\log x} \cdot b^{\log y} = b^{(\log x+\log y)} \, </math> Fra definisjonen av logaritmen er :<math>b^{\log x} \cdot b^{\log y} = x y = b^{\log (xy)} \, </math> Tilsammen gir dette :<math>x y = b^{\log (xy)} = b^{(\log x+\log y)} \, </math> === Andre logaritmesetning === : <math>\log\left(\frac{a}{b}\right) = \log a - \log b \, </math> Logaritmen til en [[brøk]] er lik logaritmen til telleren minus logaritmen til nevneren. Beviset følger samme form som for første logartimesetning, ved hjelp av identiteten :<math>\frac{b^u}{b^v} = b^{(u-v)} \, </math> === Tredje logaritmesetning === : <math>\log(a^x) = x \log a \, </math> Logaritmen til en potens er lik eksponenten ganger logaritmen til grunntallet. === Relasjon mellom logaritmer med ulike grunntall === Sammenhengen mellom to logaritmer med grunntall henholdsvis lik ''a'' og ''b'' er gitt ved :<math>\log_a x \log_b a = \log_b x \, </math> ===Derivasjon av logaritmefunksjonen === Den deriverte av den naturlige logaritmen er gitt ved :<math>\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x} \, </math> For logaritmen med generelt grunntall ''b'' gjelder derivasjonsregelen :<math>\frac{d}{dx} \log_b x = \frac{1}{x \ln b} \, </math> === Logaritmisk derivasjon=== Såkalt logaritmisk derivasjon utnyttest ofte for funksjoner som består av kompliserte produkt: :<math>f^\prime(x) = f(x) \frac{d}{dx}\ln f(x) \, </math> Denne regelen følger av [[kjerneregelen]] for derivasjon brukt på funksjonen <math>\ln</math> <math>f(x)</math>. === Antiderivert === Den [[integral (matematikk)|antideriverte]] til den naturlige logaritmen er gitt ved uttrykket : <math>\int \ln x \,dx = x \ln x - x + C. \, </math> For logaritmer med andre baser gjelder : <math>\int \log_b x \,dx = x \log_b x - \frac{x}{\ln b } + C = x \log_b \left(\frac{x}{e}\right) + C.</math>
Redigeringsforklaring:
Merk at alle bidrag til Wikisida.no anses som frigitt under Creative Commons Navngivelse-DelPåSammeVilkår (se
Wikisida.no:Opphavsrett
for detaljer). Om du ikke vil at ditt materiale skal kunne redigeres og distribueres fritt må du ikke lagre det her.
Du lover oss også at du har skrevet teksten selv, eller kopiert den fra en kilde i offentlig eie eller en annen fri ressurs.
Ikke lagre opphavsrettsbeskyttet materiale uten tillatelse!
Avbryt
Redigeringshjelp
(åpnes i et nytt vindu)
Denne siden er medlem av 2 skjulte kategorier:
Kategori:1000 artikler enhver Wikipedia bør ha
Kategori:Artikkelnavn som lett kan forveksles med andre artikkelnavn
Navigasjonsmeny
Personlige verktøy
Ikke logget inn
Brukerdiskusjon
Bidrag
Opprett konto
Logg inn
Navnerom
Side
Diskusjon
norsk bokmål
Visninger
Les
Rediger
Rediger kilde
Vis historikk
Mer
Navigasjon
Forside
Siste endringer
Tilfeldig side
Hjelp til MediaWiki
Verktøy
Lenker hit
Relaterte endringer
Spesialsider
Sideinformasjon