Redigerer Logaritme (avsnitt)

== Egenskaper og regler for logaritmer ==
:''Utdypende artikkel [[Liste over logaritmeidentiteter]]''
De følgende identitetene gjelder for logaritmer med et vilkårlig grunntall.  For å forenkle notasjonen er derfor grunntallet ''b'' utelatt der det ikke er strengt nødvendig.

===Grunnleggende egenskaper ===
For alle grunntall gjelder det at logaritmen til tallet 1 er lik null:

:<math>\log 1 = 0 \, </math>

Logaritmen til grunntallet er lik 1:

:<math>\log b = 1 \, </math>

Logaritmefunksjonen er strengt voksende for grunntall større enn 1 og strengt minkende for grunntall mindre enn 1.

===Første logaritmesetning ===
: <math>\log(xy) = \log x + \log y \, </math>

Logaritmen til et produkt er lik summen av logaritmene til faktorene.

Beviset bygger på den følgende identiteten for eksponensialfunksjonen:

:<math>b^u \cdot b^v  = b^{(u+v)} \, </math>

Her er ''u'' og ''v'' vilkårlige tall, så ved å definere

:<math>u = \log x \, </math>
:<math>v = \log y \, </math>

og sette inn i identiten over, så er

:<math>b^{\log x} \cdot b^{\log y}  = b^{(\log x+\log y)} \, </math>

Fra definisjonen av logaritmen er

:<math>b^{\log x} \cdot b^{\log y}  = x y = b^{\log (xy)} \, </math>

Tilsammen gir dette

:<math>x y = b^{\log (xy)} = b^{(\log x+\log y)} \, </math>

=== Andre logaritmesetning ===
: <math>\log\left(\frac{a}{b}\right) = \log a - \log b \, </math>

Logaritmen til en [[brøk]] er lik logaritmen til telleren minus logaritmen til nevneren.

Beviset følger samme form som for første logartimesetning, ved hjelp av identiteten

:<math>\frac{b^u}{b^v}  = b^{(u-v)} \, </math>

=== Tredje logaritmesetning ===
: <math>\log(a^x) = x \log a \, </math>

Logaritmen til en potens er lik eksponenten ganger logaritmen til grunntallet.

=== Relasjon mellom logaritmer med ulike grunntall ===
Sammenhengen mellom to logaritmer med grunntall henholdsvis lik ''a'' og ''b''   er gitt ved

:<math>\log_a x \log_b a = \log_b x \, </math>

===Derivasjon av logaritmefunksjonen ===
Den deriverte av den naturlige logaritmen er gitt ved

:<math>\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x} \, </math>

For logaritmen med generelt grunntall ''b'' gjelder derivasjonsregelen

:<math>\frac{d}{dx} \log_b x = \frac{1}{x \ln b} \, </math>

=== Logaritmisk derivasjon===
Såkalt logaritmisk derivasjon utnyttest ofte for funksjoner som består av kompliserte produkt:
  
:<math>f^\prime(x) = f(x) \frac{d}{dx}\ln f(x) \, </math>

Denne regelen følger av [[kjerneregelen]] for derivasjon brukt på funksjonen <math>\ln</math> <math>f(x)</math>.

=== Antiderivert ===
Den [[integral (matematikk)|antideriverte]] til den naturlige logaritmen er gitt ved uttrykket

: <math>\int \ln x  \,dx = x \ln x  - x + C. \, </math>

For logaritmer med andre baser gjelder

: <math>\int \log_b x \,dx = x \log_b x  - \frac{x}{\ln b } + C = x \log_b \left(\frac{x}{e}\right) + C.</math>