Redigerer Linje (avsnitt)

==Linjer i rommet==

Linjer i rommet med kartesiske koordinater (''x,y,z'') kan ikke beskrives like enkelt. Men man kan alltid benytte den generelle [[parameterfremstilling]]en {{nowrap|'''r''' {{=}} '''r'''<sub>0</sub> + '''v'''''t''}} hvor [[Vektor (matematikk)|vektoren]] '''v''' er parallell til linjen,  '''r'''<sub>0</sub> angir et vilkårlig punkt på den og ''t'' er en parameter. Skal den gå gjennom to gitte punkt {{nowrap|''A'' {{=}} (''x''<sub>''A''</sub>,''y''<sub>''A''</sub>,''z''<sub>''A''</sub>)}} og {{nowrap|''B'' {{=}} (''x''<sub>''B''</sub>,''y''<sub>''B''</sub>,''z''<sub>''B''</sub>)}}, er koordinatene til punktene på linjen gitt ved ligningene

:<math> x = x_A + (x_B - x_A)t \,</math>
:<math> y = y_A + (y_B - y_A)t \,</math>
:<math> z = z_A + (z_B - z_A)t\,</math>

Man kan her eventuelt bestemme parameteren ''t&thinsp;'' fra en ligning, og man står da igjen med to ligninger mellom de tre ukjente koordinatene.

Alternativ kan en linje i rommet defineres som skjæringslinjen mellom to [[plan (matematikk)|plan]] i rommet. Hvert plan er gitt ved en lineær ligning med den generelle formen {{nowrap|''ax'' + ''by'' + ''cz'' + ''d'' {{=}} 0}}&thinsp; hvor de tre koeffisientene ''a'', ''b'' og ''c'' angir komponentene til vektoren {{nowrap|'''n''' {{=}} (''a,b,c'')}} som står normalt på planet. 

To slike plan med normaler '''n'''<sub>1</sub> og '''n'''<sub>2</sub> er da beskrevet ved det [[lineært ligningssystem|lineære ligningssystemet]]
:<math>\begin{alignat}{2}
a_1 x & + b_1 y& \; + \; c_1 z & + d_1 = 0 \\
a_2 x& + b_2 y& \;+ \; c_2 z & + d_2 = 0 \\
\end{alignat}</math>
Løses dette ligningsettet med hensyn på de uavhengige variable ''x'', ''y'' og ''z'', finnes koordinatene til punktene som de to planene har felles, det vil si for punkter på skjæringslinjen mellom planene såfremt disse ikke er parallelle med hverandre. Vektoren {{nowrap|'''v''' {{=}} '''n'''<sub>1</sub> &times; '''n'''<sub>2</sub>}} er da parallell til skjæringslinjen og kan så benyttes til å beregne denne.