Redigerer Landés g-faktor (avsnitt)

===Clebsch-Gordan-koeffisienter===

Egentilstandene for spinnoperatoren '''J''' kan uttrykkes ved egentilstandene for operatorene '''L''' og '''S''' ved bruk av «Clebsch-Gordan-koeffisienter». Mens de første kan betegnes ved <math> |j,m\rangle</math> der

: <math> \mathbf{J}^2|j,m\rangle = j(j+1)\hbar^2 |j,m\rangle , \;\;\; J_z |j,m\rangle = m\hbar |j,m\rangle </math>,

kan de andre skrives som <math> |\ell,s;m_\ell,m_s\rangle </math> med tilsvarende egenverdier for  '''L'''<sup>2</sup>, '''S'''<sup>2</sup>, ''L<sub>z</sub>&thinsp;'' og ''S<sub>z</sub>'' som tar verdiene ''m<sub>s</sub>'' = &plusmn;1/2 for elektronspinn ''s'' = 1/2. [[Kvantisert dreieimpuls#Addisjon av dreieimpulser|Egentilstandene]] for gitt totalspinn ''j'' = ℓ &plusmn; 1/2 er da

: <math>\begin{align} |j = \ell + 1/2,m\rangle &= \sqrt{\ell + m +1/2\over 2\ell + 1} |\ell,s;m - 1/2, 1/2 \rangle  + \sqrt{\ell - m +1/2\over 2\ell + 1} |\ell,s;m + 1/2, -1/2 \rangle \\ 
 |j = \ell - 1/2,m\rangle &= - \sqrt{\ell - m +1/2\over 2\ell + 1} |\ell,s;m - 1/2, 1/2 \rangle  + \sqrt{\ell + m +1/2\over 2\ell + 1} |\ell,s;m + 1/2, -1/2 \rangle \end{align} </math>

Den magnetiske energien til elektronet er gitt ved matriseelementet av operatoren  {{nowrap|''L<sub>z</sub>'' + 2''S<sub>z</sub>'' {{=}} ''J<sub>z</sub>'' + ''S<sub>z</sub>&thinsp;''}} i disse to tilstandene. Mens ''J<sub>z</sub>&thinsp;'' ganske enkelt gir ''mħ'', kan matriselementet av ''S<sub>z</sub>'' nå  også regnes nøyaktig ut,

: <math> \begin{align}\langle j = \ell \pm 1/2, m\rangle |S_z | j = \ell \pm 1/2,m \rangle &= \hbar {(\ell \pm m + 1/2) (+1/2) + (\ell \mp m + 1/2)(-1/2)\over 2\ell + 1}\\ 
 &= \pm \hbar {m\over 2\ell + 1} \end{align} </math>

De forskjellige projeksjonene av spinnvektorene i den klassiske beskrivelsen erstattes derfor med kombinasjoner av kvadrerte Clebsch-Gordan-koeffisienter når man bruker kvantemekanikk. Men resultatet for ''g''-faktoren

: <math> g_{j = \ell \pm 1/2} = 1 \pm {1\over 2\ell + 1} = {2j + 1\over 2\ell + 1} </math>

er det samme for denne med bare et elektron som kobler til magnetfeltet.<ref name="Schwabl"> F. Schwabl, ''Quantum Mechanics'', Springer-Verlag, Berlin (1990). ISBN 0-387-54217-5.</ref>