Redigerer Konform avbilding (avsnitt)

===Cauchy-Riemanns ligninger===
Når ''&epsilon;'' = 1, er kravet for en konform avbildning at

: <math> {\partial u\over\partial x} = {\partial v\over\partial y}, \;\;\; {\partial u\over\partial y} = - {\partial v\over\partial x} </math>

Dette er [[Cauchy–Riemanns ligninger]] for en [[kompleks analyse|kompleks funksjon]] ''w''(''z'') = ''u''(''x,y'') + ''iv''(''x,y'') hvor ''z'' = ''x'' + ''iy'' er den [[komplekst tall|komplekse]] variable. Enhver slik analytisk funksjon {{nowrap|''w'' {{=}} ''f''(''z'')}} gir derfor opphav til en konform avbildning i det komplekse planet. En spesielt viktig rolle har [[Möbius-transformasjon]]er som overfører linjer og sirkler på linjer og sirkler.

I det motsatte tilfelle med {{nowrap|''&epsilon;'' {{=}} -1}} vil man på samme vis ha en konform transformasjonen <math> z \rightarrow f(z^*) </math> hvor den kompleks konjugerte variable er <math> z^* = x - iy </math>. Dette er en antiholomorf transformasjon som tar en figur med en viss orientering til en tilsvarende figur med motsatt orientering. Dette skjer for eksempel ved [[Sirkelinversjon#Komplekse koordinater|sirkelinversjon]] i planet.

De to funksjonene ''u'' = ''u''(''x,y'') og ''v'' = ''v''(''x,y'') som gir konforme avbildninger i to dimensjoner, er [[harmonisk funksjon|harmoniske funksjoner]].  Det følger direkte fra  Cauchy–Riemanns ligninger som gir at

: <math> {\partial^2 u\over\partial x^2}= {\partial^2 v\over\partial y\partial x} = - {\partial^2 u\over\partial y^2}</math>

Derfor oppfyller begge funksjonene [[Laplace-ligningen]] <math> \nabla^2\Phi = 0 </math> i to dimensjoner. Den opptrer også i mange forskjellige anvendelser, for eksempler innen [[elektrostatikk]]en for det [[elektrisk potensial|elektriske potensialet]]. Beregnes dette i et bestemt område i to dimensjoner, kan man da med en kompleks transformasjon finne det i et annet område med en forskjellig, geometrisk form.<ref name = Churchill> R.V. Churchill, ''Complex Variables and Applications'', McGraw–Hill, New York (1974). ISBN 978-0-07-010855-4.</ref>