Redigerer Knuteteori (avsnitt)

==Jones-polynom==

Krysningstallet ''K'' er per definisjon en knuteinvariant. Men for høyere krysningstall er det vanligvis mange forskjellige knuter med samme krysningstall. For å skille disse har mye av knuteteori bestått av søken etter andre matematiske størrelser som er invariante og kan benyttes i denne sammenhengen.
Mest vellykket har etableringen av forskjellige [[polynom]] som kan tilordnes hver knute. De ble i stor grad funnet ved bruk av de tre Reidemeister-bevegelsene og [[kombinatorikk]].<ref name = Adams/>

Av disse er [[Jones-polynom]]ene de nyeste og har vært av størst interesse i nyere tid. De ble etablert i 1984 av den [[New Zealand|newzealandske]] matematiker [[Vaughan Jones]]. De viste seg i tillegg å kunne relateres til diskrete, todimensjonale [[spinn]]-modeller i [[statistisk fysikk]] og topologiske [[gaugeteori]]er i tre dimensjoner.<ref name = Kaul/>

Jones-polynomet er definert slik at for nullknuten skal det være ''V''(''q'') = 1. For de fleste ikke-trivielle knuter er det vanligvis et «Laurent-polynom» da det kan inneholde også negative potenser av ''q''.  Denne variable kan tilordnes en verdi i de fysiske modellene hvor disse topologiske polynomene opptrer.

Det finnes rekursive metoder for systematisk beregning av Jones-polynom. Mens det for en høyrevridd trekløverknute er

: <math> V_{3/1}(q) = q + q^3 - q^4 </math>,

vil det være  ''q''<sup> -&thinsp;1</sup> + ''q''<sup> -&thinsp;3</sup> - ''q''<sup> -&thinsp;4</sup>  for den tilsvarende venstrevridde utgaven av knuten. De to polynomene er forbundet med transformasjonen {{nowrap|''q'' &rarr; ''q''<sup> -1</sup>}}. Derimot for åttetallsknuten 4<sub>1</sub> er Jones-polynomet

: <math> V_{4/1}(q) = q^2 - q + 1 - q^{-1} + q^{-2} </math>

som er invariant under denne substitusjonen. Det tilsvarer at åttetallsknuten er lik med sitt eget speilbilde.

For krysningstall ''K'' = 5 er der to forskjellige knuter. For den ene 5<sub>1</sub> er Jones-polynomet

: <math> V_{5/1}(q)  = - q^{-7} + q^{-6} - q^{-5} + q^{-4} + q^{-2} </math>,

mens primknuten 5<sub>2</sub>  kan tilordnes polynomet

: <math> V_{5/2}(q)  = - q^{-6} + q^{-5} - q^{-4} + 2q^{-3} - q^{-2} +  q^{-1} </math>.

Ved å kjenne Jones-polynomene til de enkleste primknutene, kan man finne polynomene for sammensatte knuter ved direkte multiplikasjon av polynomene for primfaktorene.<ref name = Adams/>